1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教案1

第2讲

空间几何体的表面积与体积

[最新考纲] 1．了解球体、柱体、锥体、台体的表面积的计算公式．

2．了解球体、柱体、锥体、台体的体积计算公式. 知

识

梳

理

1．柱、锥、台和球的侧面积和体积

圆柱

面

积

S侧＝2πrh 体

积

V＝Sh＝πr2h

11V＝3Sh＝3πr2h 1222＝3πrl－r

112V＝3(S上＋S下＋S上S下)h＝3π(r21＋r2＋r1r2)h

V＝Sh

1V＝3Sh

1V＝3(S上＋S下＋S上S下)h

4V＝3πR3

圆锥

S侧＝πrl 圆台

直棱柱

正棱锥

正棱台

球

2.几何体的表面积

S侧＝π(r1＋r2)l S侧＝Ch 1S侧＝2Ch′

1S侧＝2(C＋C′)h′

S球面＝4πR2

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．

辨

析

感

悟

1．柱体、锥体、台体与球的面积

(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(×) (2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.(×)

2．柱体、锥体、台体的体积

(3)(教材练习改编)若一个球的体积为43π，则它的表面积为12π.(√) (4)(2013·浙江卷改编)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于24 cm3.(√)

(5)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝120°，使△ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9π.(×) 3．柱体、锥体、台体的展开与折叠

2π(6)将圆心角为3，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4π.(√) (7)(2014·青州模拟改编)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝3a，则三棱锥D－ABC的体积为12a3.(×) [感悟·提升] 两点注意

一是求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．

二是几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系.

考点一

空间几何体的表面积

【例1】

(2014·日照一模)如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为82的矩形．则该几何体的表面积是(

)．

A．8

C．16

B．20＋82

D．24＋82

解析

由已知俯视图是矩形，则该几何体为一个三棱柱，根据三视图的性质，俯视图的矩形宽为22，由面积82，得长为4，1则该几何体的表面积为S＝2×2×2×2＋22×4＋2×2×4＝20＋82. 答案

B 规律方法

(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．

(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．

【训练1】

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．

解析

如图所示：

该几何体为长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为1的圆柱后剩下的部分．

∴S表＝(4×1＋3×4＋3×1)×2＋2π×1×1－2π×12＝38. 答案

38 考点二

空间几何体的体积

【例2】

(1)(2013·新课标全国Ⅰ卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)．

A．16＋8π

B．8＋8π

C．16＋16π

D．8＋16π

(2)(2014·福州模拟)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为

(

)．

3A.12

6C.12

3B.4

6D.4

解析

(1)由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成．其中长方体的长、1宽、高分别为4,2,2，圆柱的底面半径为2、高为4.所以V＝2×2×4＋2×22×π×4＝16＋8π.故选A. (2)三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高311133为2，底面积为2，故其体积为3×2×2＝12. 答案

(1)A

(2)A 规律方法

(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．

【训练2】

如图所示，已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，CC1的中点，求四棱锥C1－B1EDF的体积．

解

法一

连接A1C1，B1D1交于点O1，连接B1D，EF，

过O1作O1H⊥B1D于H. ∵EF∥A1C1，且A1C1⊄平面B1EDF，

EF⊂平面B1EDF. ∴A1C1∥平面B1EDF.

∴C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离．

∵平面B1D1D⊥平面B1EDF，且平面B1D1D∩平面B1EDF＝B1D，

∴O1H⊥平面B1EDF，

即O1H为棱锥的高．

∵△B1O1H∽△B1DD1，

∴O1H＝B1O1·DD16＝B1D6a.

11613O1H＝3··2a·3a·a＝266a. 法二

连接EF，B1D. 设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1＋h2＝B1D1＝2a. 由题意得，1＝6a3. 1S△C1EF·(h1＋h2)＝3·

考点三

球与空间几何体的接、切问题

【例3】

(1)(2013·福建卷)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是______________．

(2)(2013·辽宁卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为

A.3172

B．210

C.132

D．310 审题路线

(1)正方体内接于球⇒正方体的体对角线长等于球的直径⇒求得球的半径⇒代入球的表面积公式(注意只算球的表面积)．

(2)BC为过底面ABC的截面圆的直径⇒取BC中点D，则球心在BC的垂直平分线上，再由对称性求解．

解析

(1)由三视图知，棱长为2的正方体内接于球，故正方体的体对角线长为23，即为球的直径．

所以球的表面积为S＝4π·2322＝12π.

(2)因为在直三棱柱中AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径，取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球的直径，所以2r＝122＋52＝13，即r＝132. 答案

(1)12π

(2)C 学生用书第110页

规律方法

解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地

包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．

【训练3】

(2013·新课标全国Ⅰ卷)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为

A.500π3

cm3

B.866π3cm3

C.1 372π33

cm

D.2 048π3cm3

解析

作出该球的轴截面，如图所示，依题意BE＝2 cm，AE＝CE＝4 cm，设DE＝x，故AD＝2＋x，因为AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3(cm)，故该球的半径AD＝5 cm，所以V＝43500π3πR＝3(cm3)．

答案

A 考点四

几何体的展开与折叠问题

【例4】

(1)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A，B，C，D，O为顶点的四面体的体积为________．

(2)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝CC1＝3.P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值为________(其中

PA1表示P，A1两点沿棱柱的表面距离)．

解析

(1)折叠后的四面体如图所示．

11OA，OC，OD两两相互垂直，且OA＝OC＝OD＝22，体积V＝3

S△OCD·OA＝3182×2×(22)3＝3. (2)由题意知，把面BB1C1C沿BB1展开与面AA1B1B在一个平面上，如图所示，连接A1C即可．

则A1、P、C三点共线时，CP＋PA1最小，

∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝C1C＝3，

∴A1B1＝AB＝42＋32＝5，∴A1C1＝5＋3＝8，

∴A1C＝82＋32＝73.故CP＋PA1的最小值为73.

82答案

(1)3

(2)73 规律方法

(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．

(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．

【训练4】

如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD＝PD＝6，CR＝SC，AQ＝AP，点S，D，A，Q共线，点P，D，C，R共线，沿图

中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要________个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体．

解析

由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥P－ABCD(如图所示)，

1其中PD⊥平面ABCD，因此该四棱锥的体积V＝3×6×6×6＝72，而棱长为6216的正方体的体积V＝6×6×6＝216，故需要72＝3个这样的几何体，才能拼成一个棱长为6的正方体．

答案

3

1．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决．

2．求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．

3．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球

外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

方法优化5——特殊点在求解几何体的体积中的应用

【典例】

(2012·山东卷)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．

[一般解法] 三棱锥D1－EDF的体积即为三棱锥F－DD1E的体积．因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCD－A1B1C1D1中△EDD1的面积为定1值2，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以111＝3×2×1＝6. [优美解法] E点移到A点，F点移到C点，则1113×2×1×1×1＝6. 1[答案]

6

[反思感悟] (1)一般解法利用了转化思想，把三棱锥

＝＝D1－EDF的体积转化为三棱锥F－DD1E的体积，但这种解法还是难度稍大，不如采用特殊点的解法易理解、也简单易求．

(2)在求几何体体积时还经常用到等积法、割补法．

【自主体验】

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1与侧面BCC1B1的距离为2，侧面BCC1B1的面积为4，此三棱柱ABC－A1B1C1的体积为________．

解析

补形法将三棱柱补成四棱柱，如图所示．

记A1到平面BCC1B1的距离为d，则d＝2. 1则V三棱柱＝2V四棱柱＝1＝2×4×2＝4.

答案

4

基础巩固题组

一、选择题

1．(2013·广东卷)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是(

)．

1416A．4

B.3

C.3

D．6 解析

由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为1的正方形；下底面是1边长为2的正方形，高为2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积V＝3(12＋

141×2＋2)×2＝3，故选B. 222答案

B 2．(2013·湖南卷)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于(

)．

2－12＋1A．1

B.2

C.2

D.2

解析

由俯视图的面积为1可知，该正方体的放置如图所示，当正视图的方向与正方体的侧面垂直时，正视图的面积最小，其值为1，当正视图的方向与正方体的对角面BDD1B1或ACC1A1垂直时，正视图的面积最大，其值为2，由于正视图的方向不同，因此正视图的面积S∈[1，2]．故选C. 答案

C 3．(2014·许昌模拟)如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为(

)．

3A．4π

B.2π

C．3π

D．2π

3π12解析

由三视图可知，该几何体是一个圆柱，S表＝2×π×2＋π×1×1＝2. 答案

B 4.

如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(

)．

2343A.3

B.3

C.3

D.2

解析

如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，1312容易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝，∴S△AGD＝S△BHC＝××122222121＝4，∴V＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝3×4×2×2＋22×1＝43.故选A. 答案

A 5．(2012·新课标全国卷)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为(

)．

A.6π

B．43π

C．46π

D．63π

解析

如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝2，O′M＝1，4∴OM＝22＋1＝3，即球的半径为3，∴V＝3π(3)3＝43π.

答案

B 二、填空题

6．(2013·辽宁卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．

解析

由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，所以几何体的体积为16π－16. 答案

16π－16 7．(2013·陕西卷)某几何体的三视图如图所示，则其体积为________．

11π解析

该几何体为一个半圆锥，故其体积为V＝3×2×π×12×22＝3. π答案

3

8．(2013·江苏卷)如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________. 1解析

设三棱柱A1B1C1－ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1＝31111×4S·h＝Sh＝22424V2，即V1∶V2＝1∶24. 答案

1∶24 三、解答题

9．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)：

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；

(2)求这个几何体的表面积及体积．

解

(1)这个几何体的直观图如图所示．

(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．

由PA1＝PD1＝2 cm，A1D1＝AD＝2 cm，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积

1S＝5×22＋2×2×2＋2×2×(2)2＝22＋42(cm2)，

1体积V＝23＋2×(2)2×2＝10(cm3)．

10．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．

解

如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径BC的长为3r，则容器内水的体积为

1V＝V圆锥－V球＝3π(3r)2·3r－

43533πr＝3πr，

将球取出后，设容器中水的深度为h，

3则水面圆的半径为3h，从而容器内水的体积为

1313V′＝3πh2h＝9πh3，由V＝V′，得h＝15r. 3

能力提升题组

(建议用时：25分钟)

一、选择题

1．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝3，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S－ABC的体积为(

)．

A．33

B．23

C.3

D．1

解析

由题意知，如图所示，在棱锥S－ABC中，△SAC，△SBC都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB＝3，SC＝4，所以SA＝SB＝23，AC＝BC＝2，13作BD⊥SC于D点，连接AD，易证SC⊥平面ABD，因此VS

－ABC＝3×4×(3)2×4＝3. 答案

C 2．(2013·临沂一模)具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最大的几何体的表面积为(

)．

A．3

B．7＋32

7C.2π

D．14 解析

由正视图和俯视图可知，该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱，或水平放置的圆柱．由图可知四棱柱的体积最大．四棱柱的高为1，底面边长分别为1,3，所以表面积为2(1×3＋1×1＋3×1)＝14. 答案

D 二、填空题

3．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2 cm、高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________(cm)．

解析

根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13(cm)．

答案

13 三、解答题

4．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．

(1)求证：BC⊥平面ACD；

(2)求几何体D－ABC的体积．

(1)证明

在图中，可得AC＝BC＝22，

从而AC2＋BC2＝AB2，

故AC⊥BC，

又平面ADC⊥平面ABC，

平面ADC∩平面ABC＝AC，

BC⊂平面ABC，

∴BC⊥平面ACD. (2)解

由(1)可知，BC为三棱锥B－ACD的高，BC＝22，S△ACD＝2，∴VB－ACD1142＝3S△ACD·BC＝3×2×22＝3，由等体积性可知，几何体D－ABC的体积为423.

学生用书第111页