3.3.4 两条平行直线间的距离教学设计内容推荐

3.3.3

点到直线的距离

3.3.4

两条平行直线间的距离

学习目标

1.了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握用解析法研究几何问题.

知识点一

点到直线的距离

思考

点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？

答案

仍然适用，①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0，

C|By0＋C|Cy0＋＝即y＝－，d＝，适合公式. BB|B|C|Ax0＋C|Cx0＋＝②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0，x＝－，d＝，适合公AA|A|式. 梳理

点到直线的距离

(1)定义：点到直线的垂线段的长度. (2)图示：

|Ax0＋By0＋C|(3)公式：d＝. A2＋B2知识点二

两条平行直线间的距离

思考

直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)，B(0,1)，C(－1,2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A，B，C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？

答案

点A，B，C到直线l2的距离分别为2，2，2.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等. 梳理

两条平行直线间的距离

(1)定义：夹在两平行线间的公垂线段的长. (2)图示：

(3)求法：转化为点到直线的距离. (4)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝

|kx0＋b|1.点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(

×

) 1＋k22.直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.(

√

) 3.两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.(

√

) |C1－C2|. A2＋B2

类型一

点到直线的距离

例1

(1)求点P(2，－3)到下列直线的距离. 41①y＝x＋；②3y＝4；③x＝3. 33考点

点到直线的距离

题点

求点到直线的距离

41解

①y＝x＋可化为4x－3y＋1＝0，

33则点P(2，－3)到该直线的距离为

|4×2－3×－3＋1|18＝. 542＋－32②3y＝4可化为3y－4＝0，

|－3×3－4|13则点P(2，－3)到该直线的距离为＝. 302＋32③x＝3可化为x－3＝0，

|2－3|则点P(2，－3)到该直线的距离为＝1. 1(2)求过点M(－1,2)，且与点A(2,3)，B(－4,5)距离相等的直线l的方程. 考点

点到直线的距离

题点

利用点到直线的距离求直线方程

解

方法一

当过点M(－1,2)的直线l的斜率不存在时，

直线l的方程为x＝－1，

恰好与A(2,3)，B(－4,5)两点距离相等，

故x＝－1满足题意；

当过点M(－1,2)的直线l的斜率存在时，

设l的方程为y－2＝k(x＋1)，

即kx－y＋k＋2＝0. 由点A(2,3)与B(－4,5)到直线l的距离相等，得

|2k－3＋k＋2||－4k－5＋k＋2|1＝，解得k＝－，

3k2＋1k2＋11此时l的方程为y－2＝－(x＋1)，

3即x＋3y－5＝0. 综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0. 方法二

由题意得l∥AB或l过AB的中点，

当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB，

5－31直线l的斜率为kl，则kAB＝kl＝＝－，

3－4－21此时直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，

3即x＋3y－5＝0. 当l过AB的中点(－1,4)时，直线l的方程为x＝－1. 综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0. 反思与感悟

(1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题

①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式. ②点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用. ③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解. (2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意. 跟踪训练1

(1)若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________________. 考点

点到直线的距离

题点

利用点到直线的距离求直线方程

131答案

3，3

解析

由题意知0≤|4×4－3a|≤3，

42＋－32131131解得≤a≤，故a的取值范围为3，3. 33(2)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________________________. 考点

点到直线的距离

题点

利用点到直线的距离求直线方程

答案

2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0 解析

过点P(3,4)且斜率不存在时的直线方程为x＝3，与A，B两点的距离不相等，

故可设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，

即kx－y＋4－3k＝0，

|－2k－2＋4－3k||4k＋2＋4－3k|由已知得＝，

1＋k21＋k22∴k＝2或k＝－，

3∴所求直线l的方程为

2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0. 类型二

两平行线间的距离

例2

(1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为____________. 考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

利用两条平行直线间的距离求直线方程

答案

10

46m解析

由题意，得＝，∴m＝2，

31将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，

由两平行线间的距离公式，得|－1＋6|510＝＝. 44062＋22(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________________. 考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

利用两条平行直线间的距离求直线方程

答案

2x－y＋1＝0 解析

设直线l的方程为2x－y＋C＝0，

由题意，得|3－C|22＋12＝|C＋1|，解得C＝1，

22＋12

∴直线l的方程为2x－y＋1＝0. 反思与感悟

求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y|b1－b2|＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝2；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋Byk＋1＋C2＝0，且C1≠C2时，d＝|C1－C2|

.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等. A2＋B2跟踪训练2

(1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程；

考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

利用两条平行直线间的距离求直线方程

解

设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，

由两平行直线间的距离公式，得2＝解得C＝32或C＝－20，

故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0. (2)两平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)两点，若l1与l2的距离为5，求两直线方程. 考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

利用两条平行直线间的距离求直线方程

解

由题意知，两直线的斜率都存在，

设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，

l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0. 因为l1与l2的距离为5，

|－k－5|5所以2＝5，解得k＝0或. 12k＋1所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0. 类型三

利用距离公式求最值

命题角度1

由点到直线的距离求最值

例3

已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则x2＋y2－2y＋1的最小值为________. 考点

点到直线的距离

题点

与点到直线的距离有关的最值问题

答案

7

10，

52＋－122|C－6|解析

∵x2＋y2－2y＋1＝x－02＋y－12，

∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离，

即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离，

∴|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，

即|MN|min＝d＝|8－1|6＋822＝10. 7反思与感悟

解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决. 跟踪训练3

(1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最小时P点的坐标；

考点

点到直线的距离

题点

与点到直线的距离有关的最值问题

解

直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，

∴OP所在直线方程为y＝x. y＝x，x＝2，由解得

x＋y－4＝0，y＝2.

∴P点坐标为(2,2). (2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程. 考点

点到直线的距离

题点

与点到直线的距离有关的最值问题

解

由题意知过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，

∵kOP＝2，

1∴所求直线方程为y－2＝－(x－1)，

2即x＋2y－5＝0. 命题角度2

有关两平行线间距离的最值

例4

两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d. (1)求d的取值范围；

(2)求d取最大值时，两条直线的方程. 考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

利用两条平行直线间的距离求直线方程

解

(1)设经过A点和B点的直线分别为l1，l2，

l1⊥AB，显然当时，l1和l2的距离最大，

l2⊥AB

且最大值为|AB|＝－3－62＋－1－22＝310，

∴d的取值范围为(0,310]. (2)由(1)知dmax＝310，此时k＝－3，

两直线的方程分别为3x＋y－20＝0或3x＋y＋10＝0. 反思与感悟

两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值. 跟踪训练4

已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则|PQ|的最小值为(

) A.3

B.3

C.33

D.

22考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

求两条平行直线间的距离

答案

D 解析

两平行线间的距离就是|PQ|的最小值，3x＋4y－5＝0可化为6x＋8y－10＝0，则|PQ|＝|5－－10|3＝. 262＋82

1.已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为(

) A.1

B.－1

C.2

D.±2 考点

点到直线的距离

题点

利用点到直线的距离求参数的值

答案

D |a－1＋1|解析

由题意知2＝1，

1＋12即|a|＝2，∴a＝±2. 2.直线x－2y－1＝0与直线x－2y－C＝0的距离为25，则C的值为(

) A.9

C.－11

B.11或－9 D.9或－11 考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

利用两条平行直线间的距离求参数的值

答案

B |－1－－C|解析

两平行线间的距离为d＝2＝25，

1＋－22解得C＝－9或11.

3.已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是(

) 35A.10

B.

C.6

D.35 5考点

点到直线的距离

题点

与点到直线的距离有关的最值问题

答案

B 解析

点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|的最小值为35. 54.两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝________. 考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

求两条平行直线间的距离

答案

10 |15－5|解析

由两直线平行知，a＝8,6x＋8y＋30＝0可化为3x＋4y＋15＝0，∴d＝＝2，

5∴a＋d＝10. 5．直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是________________．

考点

点到直线的距离

题点

与点到直线的距离有关的最值问题

答案

(5，－3) 解析

由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，

设垂足为M，则|MP|最小，

4直线MP的方程为y－1＝－(x－2)，

33x－4y－27＝0，解方程组

4y－1＝－x－2，3x＝5，得

y＝－3，|2＋2－1|＝22＋12

∴所求点的坐标为(5，－3)．

1.点到直线的距离即是点与直线上的点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式.当直线与坐标轴垂直时可直接求之. 2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰.

3.已知两平行直线，其距离可利用公式d＝|C1－C2|求解，也可在已知直线上取一点，转化为22A＋B点到直线的距离. 一、选择题

1.点(1，－1)到直线y＝1的距离是(

) A.2

B.22

C.3

D.2 考点

点到直线的距离

题点

求点到直线的距离

答案

D 解析

d＝|－1－1|1＋0＝2，故选D. 2.已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于(

) A.3

B.4

C.5

D.6 考点

点到直线的距离

题点

求点到直线的距离

答案

C 解析

设AB边上的高为h，

则S1△ABC＝2|AB|·h，

|AB|＝3－12＋1－32＝22，

AB边上的高h就是点C到直线AB的距离，

AB边所在的直线方程为y－3x1－3＝－13－1，即x＋y－4＝0. 点C到直线x＋y－4＝0的距离为|－1＋0－4|52＝2，

因此，S15△ABC＝2×22×2＝5. 3.已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于(A.7B.－19

3

C.－719或－3

D.－719或3

)

考点

点到直线的距离

题点

利用点到直线的距离求参数的值

答案

C 解析

由点到直线的距离公式可得

|－3a－4＋1||6a＋3＋a2＋1＝1|a2＋1，

化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，

解得实数a＝－719或－3.故选C. 4.到直线2x＋y＋1＝0的距离等于55的直线方程为(

) A.2x＋y＝0 B.2x＋y－2＝0 C.2x＋y＝0或2x＋y－2＝0 D.2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0 考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

利用两条平行直线间的距离求直线方程

答案

D 解析

根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋C＝0，

因为两直线间的距离等于55，

所以d＝|C－1|22＋12＝55，

解得C＝0或C＝2，

故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0. 5.若P点在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为2，则点P的坐标为(

A.(1,2)

B.(2,1) C.(1,2)或(2，－1)

D.(2,1)或(－1,2) 考点

点到直线的距离

题点

利用点到直线的距离求参数的值

答案

C 解析

设点P的坐标为(x,5－3x)，

则由点到直线的距离公式，得|x－5＋3x－1|12＋－12＝2，

即|4x－6|＝2，

∴4x－6＝±2，

)

∴x＝1或x＝2，∴点P的坐标为(1,2)或(2，－1). 6.过两直线x－y＋1＝0和x＋y－1＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有(

) A.0条

B.1条

C.2条

D.3条

考点

点到直线的距离

题点

利用点到直线的距离求直线方程

答案

B x－y＋1＝0，解析

联立

x＋y－1＝0，x＝0，得

y＝1.

∴两直线交点坐标为(0,1)，

∵交点到原点的距离为1可知，只有1条直线符合条件. 7.若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是(

) A.32

B.23

C.33

D.42 考点

点到直线的距离

题点

与点到直线的距离有关的最值问题

答案

A 解析

由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相等的直线l，其方程为x＋y－6＝0，

∴M到原点的距离的最小值为d＝6＝32. 28.已知定点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为(

) A.23

B.10

C.14

D.215 考点

点到直线的距离

题点

与点到直线的距离有关的最值问题

答案

B 解析

将(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ变形，

得(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，

所以l是经过两直线x＋y－2＝0和3x＋2y－5＝0的交点的直线系. x＋y－2＝0，设两直线的交点为Q，由得交点Q(1,1)，

3x＋2y－5＝0，

所以直线l恒过定点Q(1,1)，

所以点P到直线l的距离d≤|PQ|＝10，

即点P到直线l的距离的最大值为10. 二、填空题

9.设点P在直线x＋3y＝0上，且点P到原点的距离与点P到直线x＋3y－2＝0的距离相等，则点P的坐标是________. 考点

点到直线的距离

题点

利用点到直线的距离求参数的值

3131－，或，－

答案

5555解析

设P(－3a，a)，

由题意得－3a2＋a2＝|－3a＋3a－2|，

1021即10a2＝，解得a＝±，

553131－，或，－. ∴P555510.点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是________. 考点

点到直线的距离

题点

与点到直线的距离有关的最值问题

答案

8 解析

由x2＋y2的实际意义可知，它代表直线x＋y－4＝0上的点到原点的距离的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方，

所以(x2＋y2)min＝|1×0＋1×0－4|2＝8. 211.经过点P(－3,4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为________________. 考点

点到直线的距离

题点

利用点到直线的距离求直线方程

答案

x＝－3或7x＋24y－75＝0 解析

(1)当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意；

(2)当直线l的斜率存在时，

设直线l的方程为y－4＝k(x＋3)，

即kx－y＋3k＋4＝0. 原点到直线l的距离d＝7解得k＝－. 24＝3，

k2＋－12|3k＋4|

直线l的方程为7x＋24y－75＝0. 综上可知，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0. 三、解答题

12.已知三角形的三个顶点分别是A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求角A的平分线的方程. 考点

点到直线的距离

题点

利用点到直线的距离求直线方程

解

设P(x，y)为角A的平分线上任一点，

则点P到直线AB与到直线AC的距离相等，因为直线AB，AC的方程分别是4x－3y－13＝0和3x＋4y－16＝0，

所以由点到直线的距离公式，

有|4x－3y－13||3x＋4y－16|＝，

42＋－3232＋42即|4x－3y－13|＝|3x＋4y－16|，

即4x－3y－13＝±(3x＋4y－16)，

整理得x－7y＋3＝0或7x＋y－29＝0. 易知x－7y＋3＝0是角A的外角平分线的方程，7x＋y－29＝0是角A的平分线的方程. 四、探究与拓展

13.已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上.若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为(

) 6595A.6

B.3

C.

D.

510考点

点到直线的距离

题点

求点到直线的距离

答案

C 解析

如图所示，结合图形可知，直线l1∥l3，则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离.

由题意知l1与l2关于x轴对称，故l2的方程为y＝－2x＋3，l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y＝2x＋3. 由两平行线间的距离公式，得l1与l3间的距离

|3－－3|65d＝＝，

512＋2265即点P到直线l3的距离为. 514.已知正方形ABCD一边CD所在直线的方程为x＋3y－13＝0，对角线AC，BD的交点为P(1,5)，求正方形ABCD其他三边所在直线的方程. 考点

两条平行直线间的距离公式及应用

题点

利用两条平行直线间的距离求直线方程

解

设点P(1,5)到lCD的距离为d，则d＝因为lAB∥lCD，

所以可设lAB：x＋3y＋m＝0. 点P(1,5)到lAB的距离亦为d，

则|m＋16|3＝，

10103

. 10又因为m≠－13，所以m＝－19，即lAB：x＋3y－19＝0. 因为lAD⊥lCD，所以可设lAD：3x－y＋n＝0，

则点P(1,5)到lAD的距离等于点P(1,5)到lBC的距离，且都等于d＝|n－2|3＝，n＝5或n＝－1，

1010则lAD：3x－y＋5＝0，lBC：3x－y－1＝0. 所以，正方形ABCD其他三边所在直线方程为x＋3y－19＝0,3x－y＋5＝0,3x－y－1＝0. 3，

10