习题4.1优质课教学设计

课题：《圆的方程》

【授课教师】厦门十中 黄雅丽 【授课班级】高三（3）班

【授课时间】2017-11-30 【课型】复习课 一、教材分析

解析几何的本质是用代数的方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。本章在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数的方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。这为后面解决圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。这节复习课还是培养数学能力的良好题材,所以说是解析几何的核心内容之一。

本节内容在高考中的地位：求圆的标准方程，是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中，多为容易题和中档题．高考对圆的标准方程考查主要有以下三个命题角度：(1)求过不共线三点的圆；(2)过两点及一条直线确定圆；(3)利用直线与圆的位置关系确定圆。

由前三年的高考命题形式可以看出 , 全国各地对这部分内容的教材不同，故对这部分内容的侧重点不同，但从直线方程和圆的方程的基础知识，解析几何的基本思想的考查角度来说，有共同之处，恰当地关注图形的几何特征，提高解题效率。对圆的方程的考查，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，关注确定圆的条件．预测2018年对这一部分考查不会有太大变化。

二、学情分析

在此之前，学生已复习了直线与方程的基础知识，对数形结合的思想方法有了初步的体验。这为本节复习课起着铺垫作用。因为本班的学生逻辑思维有了较好基础,注意力能够集中较长时间,学习目的明确,可以预先由学生通过自主探究解决三角形的外接圆的标准方程，完成知识梳理，初步构建知识体系。

三、教学目标：

根据上述分析以及考试大纲的要求，我制定本节课的教学目标如下：

1.知识与技能：

①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程；掌握求圆方程的两种方法：待定系数法和几何法；

②能解决与圆有关的轨迹问题和最值问题，进一步运用圆的基本性质来解决问题。

2.过程与方法：

进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

3.情态与价值：

通过师生、生生的合作学习，树立竞争意识与合作精神，感受学习交流带来的成功感，激发提出问题和解决问题的勇气，树立自信心。

四、教学重难点：

本着课程标准，在吃透教材基础上，我觉得这节课是解决直线与圆、圆与圆位置关系综合问题的基础。对解决综合问题，我觉得只有先定性分析画出图形并观察图形，以形助数，才能定量分析解决综合问题。

重点:①掌握求圆方程的两种方法：待定系数法和几何法；②能解决与圆有关的轨迹问题和最值问题。

难点：“数”与“形”之间转化技巧与方法。

五、

教学策略与方法：自主学习、师生互动法、分层教学法

六、教学流程图：

问

题目课小研标

堂结

讨导练归

引习纳

感

悟知巩提

解识固高

题梳方认规理法识律————————

七、教学过程：

（一）目标导引

问题：ABC的三个顶点为A(1,2),B(2,1),C(3,4).求ABC外接圆的标准方程.

设计意图：通过目标导引的问题设置，引导学生自行复习圆的定义及标准方程和一般方程，并能归纳求解圆的方程的一般思路：待定系数法和几何法。在此基础上自行完成学案的知识梳理部分，初步构建知识的结构体系。

（二）知识梳理

圆的定义及方程

定义

平面内与 的距离等于 的点的集合(轨迹) 标准方程

一般方程

参数方程

圆心： ，半径： 圆心： ，半径： 圆心： ，半径：

设计意图：引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解，自行进行知识梳理，完成上述表格，初步构建知识的结构体系。

（三）问题研讨

问题1:求圆的方程

例题1 :（1）已知圆心为C的圆经过点A(0，－6)，B(1，－5)，且圆心在直线l：x－y＋1＝0上，则圆的标准方程为________ x2y2（2）一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________ 164

归纳总结：确定一个圆的方程，需要三个独立条件。“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．具体方法是：(1)几何法：即通过研究圆的性质,以及点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系,求得圆的基本量(圆心坐标和半径长),进而求得圆的方程。

(2)待定系数法：其一般步骤是：①根据题意选择方程的形式；②利用条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组；③解②中的方程组,求得a,b,r或D,E,F的对应值,代入圆的标准方程或一般方程。

设计意图：有了目标导引和知识梳理的渗透，在本题中应着重于让学生关注图形的几何特征，关注确定圆的条件，恰当选择几何法或代数法来求解圆的方程。求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算。

问题2: 圆及圆的方程的简单应用

例题2: 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：

y(1) y－x的最小值； (2)的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．

x

变式1：已知实数x，y满足x2＋y2－4x＋6y＋12＝0，则|2x－y－2|的最小值是________

变式2：已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点.记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，

B(0，－1)，则d的最大值为________

归纳总结：与圆有关的最值问题的常见解法

y－b(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．

x－a(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．

(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值.

设计意图：通过分析题意，将代数关系进行转化或利用代数式的几何意义求解，实现代数与几何的相互转化，充分体现了数形结合以及转化的数学思想。也可引导学生从函数的角度出发，复习回顾求解函数值域的方法，进而提出消元和三角换元的方法。

解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合, 构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题。

问题3：与圆有关的轨迹问题

例题3:已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

求线段AP中点的轨迹方程。

变式3：若APBP，求P点的轨迹方程；

变式4：若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程。

归纳总结：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

(1)直接法；(2)定义法；(3)待定系数法；(4)坐标转移法。

设计意图：通过与圆有关的轨迹问题的分析，逐步渗透解析几何的基本思想，为后续学习圆锥曲线奠定扎实的基础。

（四）总结提升

（一）有关方程

1．求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径，借助弦心距、弦、半径之间的关系计算可大大简化计算的过程与降低解题的难度. 2. 圆的直径式方程:以点A(x1,y1)，B(x2,y2)为直径端点的圆方程：xx1xx2yy1yy20

3.圆的参数方程:xarcos，其中圆心为(a,b)，半径为r；

ybrsin（为参数） （二）有关最值

解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合, 构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.

设计意图：引导学生对所学的知识进行小结，以帮助学生形成完整的认知结构，加强理解记忆，提高解题技能。

（五）布置作业：《校本作业 48：圆的方程

》

设计意图：学生通过校本作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识，形成技能。

（六）板书设计】

展台

八、教后反思

课题

知识梳理

例1：（1）

例2：

例3:

例1：（2）