习题4.2优秀课堂实录

习题4.2（第一课时）

——《直线与圆的位置关系》习题课

教材分析：直线与圆的位置关系是高中人教版必修2第四章第二节的内容，是本章的重点内容之一。习题4.2中有不少与之相关的题目，它们不仅与之前所学知识有不少内在联系，而且还渗透了数形结合、分类讨论、类比、化归等数学思想方法，有助于提高学生的思维品质。

学情分析：学生刚接触高中数学不久，也刚刚学完《直线与圆的位置关系》的新课，虽然直线与圆的位置关系他们在初中接触过，但高中阶段是要在坐标平面内研究直线与圆问题，这无疑对他们提出更高要求。学生在之前学习的过程中掌握了直线的方程、圆的方程以及点到直线的距离公式等;懂得用联立方程的方法来求直线的交点;具有一定的数形结合的思想基础。但他们数形结合的意识不够，解题思路较为单一，且存在一些定向思维；本班多数学生比较内敛，不敢于、不善于表达自己的观点。

三维目标：

知识与技能：

能用代数法或几何法判断出直线与圆的位置关系，熟悉相关的知识点，逐步培养数形结合的意识。

过程与方法：

1．通过引导学生回忆做答，复习相关的知识点；

2.通过点评学生已经完成的习题及当场操练四道难度由低到高的习题，使学生尽快掌握常见的题型；

3.通过对题目的分析，帮学生寻找解题突破口、培养学生的解题能力，

4.通过学生的解题成果展示、思路分享，加上学生或教师的点评实现师生的有效互动，使学生对常见的解法更加熟悉，对优秀的解法印象深刻，并引导他们注重解题的规范。

情感态度与价值观：

1、培养学生敢于表现自我、表达不同观点的习惯，让学生获得成就感。

2、培养学生学会倾听的习惯。

教学重难点：

重点：引导学生掌握直线与圆的位置关系及相关的知识点、常见题型。

难点：分析、转化，找到综合性较强的题目的突破口。

教学设备：一体机、授课宝。

教学过程：

一、复习回顾相关的知识点

1、教师提出问题，学生进行思考。

（1）问题1：已知直线和圆的方程，如何判断它们的位置关系？

学生1：求出圆心到直线的距离，再与圆的半径比较大小。d=r 为相切，d>r为相交，d

学生2：由直线与圆的方程联立得到关于x或y的一元二次方程,然后由判别式△来判断。△=0为相切，△>0为相交，△<0为相离。

教师小结：两位同学分别讲了判断直线和圆位置关系的两种方法——几何法和代数法。几何法的优势在于运算量通常比代数法小，但代数法一定可以求出直线与圆有公共点时的公共点坐标，几何法则未必。

（2）问题2：直线与圆相交于A,B两点，那么线段AB的长度即弦长，怎么求呢？

学生3：过圆心O作线段OM与直线l垂直，垂足为M，则M为弦AB的中点。

连结OA，可以发现在Rt△OAM中，OA=r,OM=d,由勾股定理可得AMr2d2，而AB就等于它的两倍。

教师小结：

1.重视弦心距d，半径r和半弦长构成的直角三角形；

2.当直线变化时（仍与圆相交），由于圆的半径不变，所以弦心距d与弦长是“此消彼长”的关系。

（3）问题3：圆与直线相切时，有哪些值得注意的关系呢？

教师提示：考虑圆心与切点的连线

学生：OAl，

教师：很好，而且此时OA的长度就是圆心O到直线l的距离，也就等于半径r。

教师提醒：由OAl未必可得到kOAkl1，必须在两个斜率都存在的情况下才行。

教师小结：用几何法解题时，经过圆心往直线作垂线，往往是一条重要的辅助线。

二、习题讲评

（一）展示优秀习作，教师做简要点评

1. 求圆心为M(3,-5),且与直线x-7y+2=0相切的圆的方程

2.已知直线3x-y-6=0与圆x²+y²-2x-4y=0交于A，B两点，求|AB|的长.

教师：同学们要向习作优秀的同学看齐，注重解题过程的准确、规范。

（二）题目闯关

教师由易到难依次展示题目，学生现场完成，由学生代表上台展示并分享解题思路，教师给予点评。

1.判断直线4x-3y=50与圆x²+y²=100的位置关系.如果有公共点,求出公共点的坐标. （学生自主做题，教师巡视、个别指导。）

教师：不少同学采用代数法，联立方程求解，运算量较大，有没有别的方法呢？

同学们判断出直线与圆的位置关系是什么？

学生：相切。

教师：我们刚才提到过，相切时有哪些值得注意的关系呢？

学生：垂直。

教师：很好，圆心与切点的连线垂直于已知直线，能否利用这个关系来求公共点的坐标呢？

教师在学生做题的时候进行巡视，发现有学生采用几何法解题（即求出经过圆心且与直线

4x-3y=50垂直的直线方程，再与4x-3y=50联立求交点），请该生上台展示其作业并讲述解题思路，教师再做点评，并强调在解题时候可以通过画图帮助思考，以找到最简方法。

2.求圆心在直线3x-y=0上，与x轴相切，且被直线x-y=0截得的弦长为27的圆的方程．

由于一些学生不懂得如何利用条件中的“圆与x轴相切”，教师可提示：由题意，圆心到x轴的距离等于半径。设圆心为（a，b），则圆心到x轴的距离可以表示为什么？

（在学生做题的过程中再次提醒学生可以通过画图帮助思考，教师巡视、个别指导。）

请能解出该题的学生上台展示其作业并讲述其思路，其他学生观看并尝试点评。

教师：刚才这个同学讲得很好，不过还有一些可以再完善的地方，有没有哪个同学发现了？可以来说说看。

学生：……

（教师鼓励学生畅所欲言。） 学生4：在d2a中的a应该加上绝对值

教师肯定该生的回答，强调写解题过程时须注重符号的规范性，并再次强调解题时画图帮助思考的重要性。

3.求圆x²+y²=4上的点到直线x-y+4=0的距离的取值范围。

（学生自主做题，教师巡视、个别指导。）

教师寻找能解出该题的学生，让其上台展示成果并讲述其思路。

接着做点评，揭示解题关键——要求该取值范围，只须分别求圆上的点到直线的距离的最小、最大值。通过画图可以发现，只须找到圆上离直线最近和最远的点，再求它们对应的距离即可。要找到这两个点，又只须作出经过圆心且垂直于直线l的直线（右图的红线），该直线与圆的交点A，B分别是离直线最近和最远的点。

令圆心到直线的距离为d，圆的半径为r。由图可知，A，B到直线的距离分别是d-r和d+r。于是所求的取值范围就是[d-r,d+r]。教师强调：直线AB是整个图形的对称轴，利用图形的对称性即可解决问题。

4.（变式操练，知识迁移）已知点P,Q的坐标分别是（0,2）和（2,0），点R在圆x²+y²=4上运动，求△PQR的面积的最大值

。

（学生自主做题，教师巡视、个别指导。） 寻找能初步解出该题的学生，让其说说思路。

教师倾听学生的讲解，点评并分析：△PQR的两个顶点P、Q固定，第三个顶点R在圆上运动，可以用PQ做底边，则R到直线PQ的距离就是PQ边上的高。要使该三角形面积最大，也就是要使PQ边上的高最大，即R到直线PQ的距离最大。（经过分析、转化，实现知识迁移）

经画图或计算可得，直线PQ与圆相交，那么要使R到直线PQ的距离最大，它应该在B点的位置。该距离为d+r。再用之前求弦长的方法可求出PQ的长度，即△PQR的底边长，用三角形面积公式即可求出△PQR的面积的最大值。

分析、点拨思路完毕，请学生自行完善解题过程。

三、总结提升：

（一）归纳本节内容：

1、熟练掌握与本节内容相关的知识点和常用方法。

2、用几何法解题时，经过圆心往直线作垂线，往往是一条重要的辅助线。

（二）归纳思想方法：

1、数形结合：做解析几何题时要多画图，有利于找到思路。

2、尝试多解：尝试用不同方法解决同一个题，寻找最优解法。

教学反思：

作为一节习题课，教学设计应为学生自主学习、建构知识、培养解题能力服务。这节课我为学生提供了大量问题情境、让学生在师生互动、生生互动中不断地归纳与总结，引导学生发现规律、拓展思路。本节课旨在帮助学生巩固直线与圆的位置关系的学习成果，通过当堂讲练结合的方法，让学生充当“小老师”角色，由学生把解题思路尝试阐述出来与同学进行分享。在这个过程中，讲演的学生获得成功的成就感或者获得更多与以往不同的体验，能加深他们对本节知识点的认知，以后我会多加尝试把课堂的自由给学生，让学生得到更丰富的体验。