3.1.2 导数的概念教学设计第一课时

§3.1.2导数的概念

【学习目标】了解瞬时速度的定义。能够区分平均速度和瞬时速度.

理解导数(瞬时变化率)的概念

【重点】导数概念的形成，导数内涵的理解

【难点】在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵

通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点

【自学点拨】

[问题1]

我们把物体在某一时刻的速度称为________。一般地，若物体的运动规律为sf(t)，则物体在时刻t的瞬时速度v 就是物体在t到tt这段时间内，当_________时平均速度的极限，即svlim=___________________ x0tht4.9t26.5t10

t0时，在2t,2这段时间内

[来源学*科*网]t0时，在2,2t这段时间内

[问题2]函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: x0limf(x0x)f(x0)flim

x0xx'我们称它为函数yf(x)在xx0处的______，记作f(x0)或________，即________________________

附注：

①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；

②定义的变化形式：f'x=limx0f(x0)f(x0x)y；

limx0(x)x

f'x=xlimxf(x0x)f(x0)f(x)f(x0)y'；fx=lim；

limx0xx00(x)xxx0xxx0，当x0时，xx0，所以f(x0)limx0f(x)f(x0)

xx0

③求函数yfx在xx0处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。

[问题3]求导数三步法

(1)求增量yf(x0x)f(x0);y

f(x0x)f(x0)(2)算比值;（即___变化率）

 xx

(3)求yyxx0（在.x0时）例2．（课本例1）

x

【课前练习】

1、自变量x从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（A、在区间[x0，x1]上的平均变化率 B、在x0处的变化率

C、在x1处的变化量 D、在区间[x0，x1]上的导数2、求yx22在点x=1处的导数. 3、求函数yx在x1处的导数[来源学_科_网Z_X_X_K

【课后练习】

1、已知函数yf(x)，下列说法错误的是（

）

A、yf(x0x)f(x0)叫函数增量

B、yxf(x0x)f(x0)x叫函数在[x0,x0x]上的平均变化率

C、f(x)在点x0处的导数记为y

D、f(x)在点x0处的导数记为f(x0)

2、若质点A按规律s2t2运动，则在t3秒的瞬时速度为（

）

A、6

B、18

C、54

D、81 3、设函数f(x)可导，则limf(1x)f(1)x03x=（ ）

A、f(1) B、1f(x13f(1) C、不存在 D、以上都) 不对[来源:Z。xx。k.Com]

4、函数yx1x在x1处的导数是______________ ）

5、已知自由下落物体的运动方程是s12gt，(s的单位是m,t的单位是s)，求：

2（1）物体在t0到t0t这段时间内的平均速度；

（2）物体在t0时的瞬时速度；

（3）物体在t0=2s到t12.1s这段时间内的平均速度；

（4）物体在t2s时的瞬时速度。导数的概念

[来源:学_科_网]

[教学目的] 1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义；

2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数的定义求导数的一般方法

3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力,体会数学知识在现实生活中的广泛应用。

[教学重点和难点]导数的概念是本节的重点和难点

[教学方法]讲授启发，自学演练。

[授课类型]：新授课

[课时安排]：1课时

[教 具]：多媒体、实物投影仪

[教学过程]

一、复习提问(导数定义的引入)

1．什么叫瞬时速度？(非匀速直线运动的物体在某一时刻t0的速度)

2．怎样求非匀速直线运动在某一时刻t0的速度？

在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后[来源:Z§xx§k.Com]的时间t（单位：s）存在关系ht4.9t6.5t10，那么我们就会计算任意一段的平2均速度v，通过平均速度v来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？

（2）新课

我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算2秒之前的t时间段内的平均速度v，请同学们完成表格1左边部分，（事先准备好的），再完成表格的右边部分〉

[来源学科网]

表格1

表格2 t0时，在2t,2这段时间内

t0时，在2,2t这段时间内

h2h2t4.9t213.1tv

22tt4.9t13.1当t0.01时，v13.051；

当t0.001时，v13.095 1；

当t0.000 1时，v13.099 51；

当t0.000 01时，v13.099 951；

h2th24.9t213.1tv

2t2t4.9t13.1当t0.01时，v13.149；

当t0.001时，v13.104 9；

当t0.000 1时，v13.100 49；

当t0.000 01时，v13.100 049；

当t0.000 001时，v13.099 995 1；

当t0.000 001时，v13.100 004 9；

。。。。。。

。。。。。。

问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2）

关于这些数据，下面的判断对吗？

2．当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是t从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1m/s。

3．

靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段2t,2上的平均速度；

4．

靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段2,2t上的平均速度；

5．

-13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1m/s。

分析:t2秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1m/s。

这样，我们就得到了2秒时的瞬时速度是-13.1m/s，现在我们一起回忆一下是如何得到的：

[来源:Zxxk.Com]

首先，算出2,2t上的平均速度h2th2=4.9t13.1，接着观察当t趋近t于0时，上式趋近于一个确定的值-13.1，这个值就是运动员在2秒时的瞬时速度。为了表述方便，我们用

limt0h2th213.1

t表示“当t2，t趋近于0时，平均速度v趋近于确定值-13.1”。

思考：当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？

结论：当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v都趋近于一个确定的值13.1．

从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s

为了表述方便，我们用limh(2t)h(2)13.1

t0t表示“当t2，t趋近于0时，平均速度v趋近于定值13.1”

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

3．函数yfx在xx0处的瞬时变化率如何表示？

导数的定义（板书）

函数yfx在xx0处的瞬时变化率是limf(x0x)f(x0)flim，

x0xx0x我们称它为函数yfx在xx0处的导数，记作f'x0或y'|xx0，

即f'x0=limf(x0x)f(x0)flim。例如：2秒时的瞬时速度可以表示为x0xx0x[来源学科网]h'213.1或y'|t213.1。

附注：①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；

②定义的变化形式：f'x=limx0f(x0)f(x0x)y；

lim(x)x0x

f'x=xlimxf(x0x)f(x0)f(x)f(x0)y'；fx=lim；

limx0xx0(x)0xxx0

xxx0，当x0时，xx0，所以f(x0)limx0f(x)f(x0)

xx0

③求函数yfx在xx0处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。

三．典例分析

2例1．（1）求函数y=3x在x=1处的导数. ff26x再求lim6

分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx), 再求xx0x3x23123(x212)limlim3(x1)6

解：法一（略）；

法二：y|x1limx1x1x1x1x1（2）求函数f(x)=xx在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

2y(1x)2(1x)23x

解：xxy(1x)2(1x)2lim(3x)3

f(1)limx0xx0x例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为f(x)x27x15(0x8)，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f(2)和f(6)

根据导数定义，''f(2x)f(x0)f

xx(2x)27(2x)15(227215)x3

xflim(x3)3；同理可得:f(6)5

x0xx0在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大所以f(2)lim约以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升．

注：一般地，f(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况．

17世纪，力学、航海、天文等方面取得了突飞猛进的发展，这些发展对数学提出了新的要求，它们突出地表现为四类问题，其中的两类问题直接导致了导数的产生：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线。

由导数的定义，我们知道，高度h关于时间t的导数是运动员的瞬时速度；气球半径r关'

于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率。

实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如效率、点密度、国内生产总值GDP 的增长率等等。下面我们来看一个导数的应用。

四．课堂练习

21．质点运动规律为st3，求质点在t3的瞬时速度为．

2．求曲线y=f(x)=x3在x1时的导数．

3．例2中，计算第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

五、小结

1．导数的产生是由于17世纪力学、天文学等的飞速发展，对数学提出的要求，主要是两类问题：一是根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度；二是求已知曲线的切线；

2．导数就是瞬时变化率；

[来源学科网ZXXK]3．导数的计算公式：f'x0=limf(x0x)f(x0)flim。

x0xx0x4. 求函数yfx在xx0处的导数步骤：“一差；二比；三极限”