习题2.3教学创新设计

第二章

圆锥曲线与方程习题2.3评讲

江门市培英高级中学

董艳丽

一、教学目标：

1、复习巩固双曲线的定义与性质

2、会利用双曲线的定义与性质求双曲线的方程或利用双曲线的定义求动点的轨迹方程。

3、利用双曲线的性质解决中点弦问题。

二、教学重点与难点

1、教学重点：复习巩固双曲线的定义与性质，并利用定义与性质解决问题

2、教学难点：与中点弦有关的问题

三、教学设计

复习双曲线的利用双曲线的定义求利用双曲线的定义

定义与性质

长度与角度问题

求动点轨迹问题

双曲线的中点利用双曲线的性质

弦问题

求双曲线的方程

四、教学过程

（一）复习相关知识点

1、双曲线的定义

2、双曲线的性质

（二）利用双曲线的定义解决问题

1、利用双曲线的定义解决长度问题

【A组第1题】双曲线

上一点P到它的一个焦点的距离等于1,那么点P到另一个焦点的距离等于

分析：首先将双曲线的方程化为标准方程的形式

,

由双曲线的定义

,及

得

注意：解决此类问题时,还要注意

的范围：

变式：双曲线

上一点P到它的一个焦点的距离等于17,那么点P到另一个焦点的距离等于

（答案：

此题中

不合题意。）

2.利用双曲线的定义求动点轨迹

【A组第5题】如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆上任意一点。线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

P 分析:由线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q 可知

O 又由图可知,

A 所以

Q 即:

所以由双曲线的定义可知，点Q的轨迹是

以A、O为焦点的双曲线的左半支。

【B组第2题】相距1400m的A、B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速340m/s，问炮弹爆炸点在怎样的曲线

上，为什么？

分析：设爆炸点为P，由题意可知，

所以由双曲线的定义可知，爆炸点P在以A、B为焦点的双曲线上。

（三）利用双曲线的性质求双曲线的方程——待定系数求双曲线的方程

【A组第2题】求适合下列条件的双曲线的标准方程

（1）焦点在x轴上，

经过点 ， ；

（2）经过两点

）

（

. 分析：（1）设所求双曲线的方程为

,代入

及 ， 即可求得双曲线的方程。

（2）设所求双曲线方程为

（

,代入A、B两点的坐标即可求得双曲线的方程。

总结：当不知道双曲线的焦点在x轴或y轴时，为避免讨论，可设双曲线的方程为

（

【A组第4题】求适合下列条件的双曲线的标准方程

（3）离心率

，经过点M（-5，3）

分析：由

可知，该双曲线为等轴双曲线，故可设该双曲线的方程为

（

,代入点M的坐标，即可求得所求曲线的方程。

总结：等轴双曲线的方程可设为

（

【A组第6题】求经过点A（-3，1），并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲

线的方程. 分析：设所求等轴双曲线的方程可设为

（

，代入点A坐标即可求得。

（四）双曲线中的中点弦问题

【B组第4题】已知双曲线

,过点P（1，1）能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点。

分析：假设存在直线l满足条件，显然直线l的斜率存在，

设直线l的方程为

即

联立

，

消去y得：

（*）

所以

，又

，所以k=2. 当k=2时，代入方程（*）中得：

,显然该方程无实数根。

所以，不存在直线l满足条件。

【变式】已知双曲线

，定点

不在双曲线上,过点P作直线l交双曲线与A、B两点，若点P为线段AB的中点。若直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2,求证：k1 k2为定值，并求出该定值。

总结：双曲线中点弦问题与椭圆中点弦问题类似，可以用韦达定理来解决，也可以用点差法来解决。但是要注意求出直线l的斜率后要代入方程中检验。

（五）归纳小结：

1. 当不知道双曲线的焦点在x轴或y轴时，为避免讨论，可设双曲线的方程为

（

2. 等轴双曲线的方程可设为

（

3. 总结：双曲线中点弦问题与椭圆中点弦问题类似，可以用韦达定理来解决，也可以用点差法来解决。但是要注意求出直线l的斜率后要代入方程中检验。

（六）课后作业

一、选择题

1．已知方程ax－ay＝b，且a、b异号，则方程表示(

) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆

22

C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线

x2y2222．(2015·济南质检)已知双曲线－＝1的一个焦点在圆x＋y－4x－5＝0上，则双曲线9m的渐近线方程为(

) 342232A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x

4334x2y213．若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的实轴长是焦距的，则该双曲线的渐近线方程是(

) ab2A．y＝±3x B．y＝±2x C．y＝±3x D．y＝±22x

24．(2015·安徽理)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(

) A．x－＝1 B．－y＝1 C．－x＝1 D．y－＝1 4444二、填空题

2y2x22y222x2x2y25．(2015·三峡名校联盟联考)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x－2yabx2y2＝0，则椭圆2＋2＝1的离心率e＝__________________. ab

6．已知双曲线的中心是坐标原点，实轴在y轴上，离心率为2，且双曲线两支上的点的最近距离为4，则双曲线的标准方程为________________.

三、解答题

7．焦点在x轴上的双曲线过点P(42，－3)，且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．

x2y28.设双曲线2－2＝1(0

的距离为

3c，求双曲线的离心率．

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