习题3.2ppt配套的板书设计及意图

§3.2习题课(一) 《立体几何中的向量法求空间角（一）》教学设计

成都十二中数学组 罗红英

一、教学分析设计

1.教材分析

(1)学科角度

立体几何有两大核心关系：位置关系和度量关系。解决立体几何问题的常用方法有：几何法和向量法。本节课是在高三一轮复习中用向量法解决度量关系中的角度问题。

空间角与立体几何的其他知识点浑然一体，既考查了线线、线面、面面关系，又突出了知识间的联系，体现了知识的整体性。而空间向量的引入，给立体几何的解题提供了新的思路和方法，借助于它解决立体几何问题，可以避免复杂的作图和证明而转化为简单的代数运算。而本节课作为一节高三一轮复习课《立体几何中的向量法求空间角（一）》，是继《立体几何中的向量法证明平行和垂直》之后的课。

空间角(线线角、线面角、二面角)是立体几何中的一个重要概念，它是空间图形一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现，故它以高频率的姿态出现在历届高考试题中。在《2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）考试说明.数学（理科）》中,对空间角的考试要求层次为C，即掌握层次。这一层次所涉及的行为动词有：掌握、分析、推导、研究、运用、解决问题等。近些年立体几何的高考题中，偏题怪题很少出现，几何图形基本都是规则的，能建立空间直角坐标系的。就2014年全国各省市数学理科高考的18套试题不难发现，解答题中考查有5套考查了线线角，4套考查了线面角，13套考查了二面角。因此，用向量法求解空间角问题是立体几何教学的重点。

(2)教育角度

空间向量为立体几何的计算乃至证明开辟了一条新的思路，具有把立体几何问题算法化、处理方式标准化的特点。向量法不依赖较多的数学知识（大量的公理、定理和严格的演绎逻辑），使许多立体几何的“

形”

的思维转化为“数”的构想，从而使现代思想中数形结合的思想更加充实。空间向量的引入降低了立体几何学习的难度，充分关注到了不同学生在数学上的不同需求，使不同学生在数学上能得到不同发展，符合新课程标准注重知识的有效性和实用性，减轻学生数学学习负担的理念。

立体几何中的向量方法既是前面平面几何中向量方法的深化，又是n维欧式空间学习的拓展基础。几何发展的根本出路是代数化，引入向量研究是几何代数化的需要。将向量及其运算在直角坐标系中用数量反映的思维模式也体现了现代数学发展的方向，有利于学生进入大学的进一步学习，有利于学生养成良好的思维方式，以适应信息时代数字化的需要。

2.学生分析

学生通过高二对立体几何新课的学习，已经掌握了向量法求空间角的一般步骤和方法。本节课是高三一轮复习课，学生已经复习了空间中的几何位置关系(点与平面的位置关系，直线与平面平行，直线与平面垂直，平面与平面平行)；空间向量及其运算；立体几何中的向量法证明平行和垂直。也已经复习了传统综合方法求空间角。结合所任教班级为高三理科实验班, 学生已经较好掌握了向量法求空间角的一般步骤和方法，而向量夹角与空间角的转化是学生的易错点和难点。究其本质是因为学生没有真正“理清”空间角和向量夹角的关系。因此本节课试图让学生再次深度体验角的概念间的区别和联系，从根本上解决学生学习的这一难点,从而真正实现一轮复习“夯基释疑”的根本目的。基于学生的数学基础较为扎实，因此本节课试图大胆放手让学生充分的体验和自主探索,在解决问题的过程中不断地完善自我的认知结构。

3.目标分析

结果性目标:

能用向量法正确求解空间角

体验性目标:

能在作图分析，理清空间角与向量夹角关系的过程中，体验向量夹角与空间角的关联，体验文字、图形、符号三种数学语言之间的关联

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4.媒体分析

除使用常规黑板板书教学手段外，还将使用多媒体投影和计算机来辅助教学。多媒体投影为师生的交流和讨论提供了平台；计算机则清晰地展示了教学环节。

5.核心问题分析

本节课核心问题：作图分析，理空间角与向量夹角的关系。

设计思想：通过教材分析明确了这节课的教学重点是向量法求三种空间角，而通过学生分析明确了本节课的教学难点是向量夹角与空间角的关系。因此，基于本课的根本目标是突破教学重点和教学难点，实现结果性目标和体验性目标，最终将本节课核心问题确立为：作图分析，理空间角与向量夹角的关系。学生的学习过程是一个不断体验的过程，学生只有通过充分的体验，才能达到对知识的理解和方法的掌握，才能形成情感和感悟，才能实现思维和能力的发展。基于自主探索、合作交流是高中数学新课程倡导的学习数学的重要活动方式，结合我校核心问题教学模式对本节课作如下设计：（1）提出问题——基于学生课前活动成果展示过程中存在的“老问题”,“真问题”提出本节课的核心问题；（2）解决问题——通过学生自主探索、小组合作讨论、全班展示交流(教师适时点评)等活动解决问题；（3）反思提升——通过回顾、反思核心问题的解决过程，提升知识和体会思想方法；（4）运用反馈——通过反馈练习，巩固知识方法。

二、教学实施设计

1.教学环节

（1）提出问题 (8分钟) ①展示学生自主课前活动的成果：

课前活动:用向量法求空间角

ACB450，BC3，如图1，过动点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，0连接AB，沿AD将ABD折起,使二面角BADC的大小为90

(如图2所示).当BD1时，设点E、M分别为棱BC、AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得ENBM，并求：（Ⅰ）直线AN与BM所成角的余弦值；（Ⅱ）直线EN与平面BMN所成角的大小；（Ⅲ）二面角NBMD的余弦值.

设计意图：此题改编自2012年湖北理科高考19题。通过此题

唤醒和激发学生已有的用向量法求解三种空间角的方法,并通

过学生此题的完成情况发现学生的“真问题”。

利用向量法

求解空间角的过程中，最终的关键在于“四破”：第一破“建

系关”<需几何法交待建系依据>，第二破“求点坐标、法向量

关”；第三破“向量运算关”；第四破“向量夹角与空间角转化

关”。而从学生的完成情况中不难发现,学生在“向量夹角与空间角的转化关”的确存在问题, 能正确转化的学生有些也只是单凭机械记忆公式来完成,并没有真正理清。由此,基于学生存

在的“真问题”自然地提出本节课的核心问题。因此,这一环节的设计主要起到问题提出的

情境营造作用。

评价预设：通过投影展示学生有代表性的完成情况,全班同学在与自己的答案做对比之后,学生在如何将向量夹角的余弦值转化为所求空间角的三角函数值这一问题上应该有议论声,就这学生的分歧声,对学生存在的问题作出正面的语言评价,从正面指出学生存在的问题究其本质,是没有真正理清空间角与向量夹角的关系。

②提出本节课的核心问题：作图分析，理空间角与向量夹角的关系

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（2）解决问题 (20分钟) 空间角

线线角θ

图形

空间角与向量夹角关系

b

abaa,b或a,bcoscosa,b

0,2线面角θ

,a,b0,

An

AnBB2AB,n

0,2,AB,n0,

sincosAB,n二面角θ

n1n2n2n1n1,n2或n1,n2coscosn1,n2

ll0,,n1,n20,

锐角还是钝角“看图说话”设计意图：用向量法求空间角时，向量夹角与所求空间角的转化是学生的一个易错点和难点。

究其本质，其实是学生没有真正理清向量夹角与各空间角概念的区别与联系，单凭机械片面

的死记和套用公式导致的。因此这一环节的设计，让学生通过例题的体验和已有知识，尝试

作图分析,理空间角与向量夹角的关系。

评价预设：

①实现向量夹角与所求角正确转化的关键是抓住角的概念本身，理清概念间的区别与联系。

这一环节在真实的课堂上,学生应该有很多突发的不能预计的情况发生,非常具体的有针对

性地评价不好准确预设,但这一环节对学生的评价一定要注意从以下三方面展开:空间角与

向量夹角的各自范围;根据图形进行分析解释;结合三角函数的诱导公式。 ②求二面角时实质上应当是：两条法向量同指向（或同背向）半平面时，它们的夹角大小与二面角大小是互补关系，否则才是相等关系。但判断起来比较困难，因此可以结合实际图形来判断二面角是锐角还是钝角。

（3）反思提升 (2分钟) ①知识:空间角概念与向量夹角概念的区别和联系

②思想方法:分类讨论、转化与化归、数形结合 评价预设：

①通过引导学生反思回顾“作图分析,理空间角与向量夹角的关系”的活动过程,学生应该能体会到通过分情况作图来分析讨论充分体现的分类讨论思想;通过图形分析找到代数关系充分体现了数形结合的思想。因此,对学生的正确回答应该予以充分的正面肯定,并注意引导学生有进一步具体的解释,避免生硬和空洞。

②从核心问题解决的整个宏观的角度,实际上是对同一问题进行了不同角度的认识,真正实现了从文字语言到图形语言再到符号语言的三重转化,充分体现了转化思想。预计这一高度的思想方法学生可能不易充分体会,因此可由教师适当引导得出。

（4）运用反馈 (10分钟) 如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝22，∠ABC＝90°.把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD(如图2所示) .

在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成的角为60°？若存在，求直线AN与CD所成角的余弦值；若不存在说明理由.

设计意图：此题改编自《步步高立几专题四例题3》

以平面图形的翻折问题为背景，难度适中，目的在于让学生正确实现向量夹角和所求角的转

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化。该题为逆向求解，即已知线线、线面、面面角求其中的某些线段长或点的位置。用向量

法正确解决此题的关键就是将向量夹角与空间角进行正确的转化。

评价预设：

①建系方法：利用已知的线线、线面、面面垂直建系，有时候需要作一条或两条坐标轴。尽量最多的点在坐标轴上，各相关线段尽量与坐标轴平行这样好求点的坐标。

②求点坐标方法：利用向量共线；画局部平面图形；待定系数法。 ③逆向求解就是运用方程思想，通过给的已知条件得到方程求未知数。如果方法不熟、步骤不清、转化不正确，就很难避免不出错。

④注意从高考阅卷评分的角度给出相应的评分细则。

课后检测题: 在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，ABBC，ADCD， CAD．若二面角CABD为，（Ⅰ）求异面直线AD与BC所成角的余弦值．

（Ⅱ）求直线BC与平面ABD所成角的正弦值. 设计意图：此题为2011年重庆理科高考题第二问，也是逆向求解。这种题型向量法和综

合法都可以解，但向量法更更易想。运用空间向量法对向量运算的求高。

2.板书设计

3.1习题课《立体几何中向量法求空间角（一）》

一、

提出问题

核心问题:作图分析,理空间角与向量夹角的关系

二、解决问题

三、反思提升

1．知识

2．思想方法

四、运用反馈

学生板书例题解答过程

3.教学流程

开始

板书

提出问题

投影问题

巡视、指导、收集

解决问题

投影展示

展示交流

点拨、讲评

反思提升

投影展示

引导、提炼

运用反馈

板书展示

布置作业

结束

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