3.1.3 导数的几何意义教案设计

第三章．变化率与导数

3.1.3

导数的几何意义（教案）

一．教学目标

1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程. 二．教学重点

1.

导数的几何意义. 2.

会求简单函数的导函数. 3.

根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 三．教学难点

1.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 2.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程

四．教学方法

引导探究法，小组合作学习法，自主学习法

五．教学过程

（一）问题探究，引入课题

如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线.

思考1 割线PPn的斜率kn是多少？

思考2 当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？

知识讲解

(1)切线的定义：当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于极限位置，这个极限位置的直线PT称为曲线在

点P处

的切线.

(2)导数f′(x0)的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜

率k，即k＝

limfx0＋Δx－fx0＝f′(x)0ΔxΔx→0

(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为

y－f(x0)＝f

′(x0)(x－x0)

（二）合作探究，例题解析

对于函数f(x)＝－x2＋1. 思考如何求f′(x0)?

－x0＋Δx2＋1－－x2

0＋1f′(x0)＝Δlim

x→0Δx

＝Δlim(－2x0－Δx)＝－2x0. x→0

梳理

(1)从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x)是一个确定的数.这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即

f′(x)＝y′＝

14例1

已知曲线C：y＝3x3＋3，求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程

求曲线在某点处的切线方程的步骤

fx＋Δx－fxlimΔx→0Δx

（三）自主练习。巩固提升

跟踪训练1曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是_____.

过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤

y1－y0

建立方程f′(x0)＝(2)；

x1－x0(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程.

跟踪训练2

求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程.

跟踪训练3已知曲线y1＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y2＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值. 跟踪训练4.已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝kAB，则k1，k2，k3之间的大小关系为________.(请用“>”连接)

(1)设切点(x0，y0)；

（四）归纳与小结

1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，

即k＝limfx0＋Δx－fx0＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的ΔxΔx→0瞬时速度. 2.“函数f(x)在点x0处的导数”是一个常数，不是变量，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值.

3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.

（五）作业布置

习题A组1,2,3 课时练