习题2.1教学实录与评析

第二章

圆锥曲线与方程

2.1.1

曲线与方程

（1课时）

授课教师：潮州市华侨中学

林素杏

【课程目标】

在初中阶段以及高中必修阶段学***面解析几何初步的基础上，结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的关系，进一步体会数形结合的思想。

【三维目标】

1．知识与技能：

（1）通过具体例子归纳总结出曲线与方程的概念，理解并掌握两个条件；

（2）应用数形结合的思想理解曲线与方程的关系，并从不同角度理解它们的等价性；

（3）会用概念判断方程是否是已知曲线的方程，曲线是否是已知方程的曲线。

2．过程与方法：

学生在教师的引导下,通过交流、思考、练习等学习活动，去学习知识实现目标。

3．情感态度与价值观: 培养科学的研究方法与严谨的态度以及辩证看待问题的思想观念，体会数形结合的数学思想。

【教学重点】

曲线的方程、方程的曲线的概念

【教学难点】

理解曲线的方程、方程的曲线的概念

【教学用具】多媒体、教科书

【教学方法】引导探究法、讲授法

【课型】新授课

【板书设计】

1

2.1.1 曲线与方程

曲线

方程

例1（略）

↓

↓

点的坐标

↓

↓

方程的曲线

曲线的方程

【教学过程】

一、引入新课

一一对应

解

引导学生回顾初中阶段以及高中必修二学***面解析几何的一些相关内容以及研究的方法，引入新课。

二、新课讲授

1、探究：给出四道题目，让学生写出直线、圆、射线、线段的方程。由学生先动笔完成，再提问学生。

从写熟悉的直线与圆的方程入手，再提问学生，写出不完整的直线例如射线与线段之类的方程，提出疑问：写出的方程是否是曲线的方程？如何判断？（留下悬念）

附：在平面直角坐标系中写出以下直线、圆、射线、线段的方程：

（1）平分第一、三象限的直线的方程；

（2）圆(x-1)2 +y2=4 关于y轴对称的圆的方程；

（3）—（4）如图所示实线对应的方程。

o

2、实例分析：结合直线与圆的例子，分析直线与方程、圆与方程的关系，并类比总结得出某个方程是曲线的方程必须满足的两个条件，引入曲线与方程的概念。

2

3、概念：

在平面直角坐标系中，给定曲线C与一个二元方程f（x，y）=0，若满足

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，

那么，这条曲线叫做方程的曲线，

这个方程叫做曲线的方程．

学生齐读概念后，教师强调：

（1）曲线的定义；

（2）必须同时满足两个条件，才能得出曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程的概念；

（3）指出曲线上的点与方程的解的一一对应的关系；

（4）结合第一章的知识，从充要性的角度分析曲线与对应方程的等价性；

（5）从集合的角度分析曲线与方程的关系，指出它们是同一个问题的两种不同表示形式，是等价的。

4、解决悬念：引导学生利用概念分析探究中的曲线（3）-（4）:

判断同学的回答是否正确，紧扣概念分析方程是否是曲线的方程，巩固概念的应用。

三、例题讲解

例1.证明与两坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是

xy





k

.

证明：（1）设

M

(x

0

,

y

是轨迹上的任意一点，

0)∵

M

点到x轴的距离|y0|,到y轴的距离为|x0|，

∴|x0|·|y0|= k，∴x0 y0=±k，

即(x0 , y0 )是方程xy=±k的解。

（2）设M1的坐标(x1 , y1 )是方程xy=±k的解，则x1y1=±k , ∵M1点到x轴的距离|y1|，到y 轴的距离为|x1|，

又∵|x1y1|= k，∴|x1|·|y1|= k，

∴点M1与两坐标轴的距离的积是常数k，

∴点

M1是曲线上的点。

由(1)(2)可知，xy=±k是与两坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹

3

方程。（多媒体展示）

例题总结:

（1）进一步让学生领悟到利用方程可以去发掘曲线的一些性质，从而可以尝试作出一些不熟悉的曲线的图像（描点法）。

（2）证明已知曲线的方程的方法和步骤；

第一步，设M(x0,y0)是曲线C上任意一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；

第二步，设点M1的坐标(x1,y1)是f(x, y）=0的解，证明点M1(x1,y1)在曲线C上. 四、课堂练习：

交流讨论：判断下列结论的对错，说明理由，错的话加以改正。

(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x=0；

(2)到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=－2；

(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1；

(4)已知等腰三角形△ABC的顶点分别是A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，O为原点，则中线AO的方程为x=0 引导学生根据概念判断，错的话加以改正。

五、课堂总结

1、曲线的方程，方程的曲线的概念

2、注意变量的范围

3、数学思想：数形结合（华罗庚）

六、课后作业

书面作业:P37习题2.1

A组第

1 题

4