3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课件配套优秀获奖教案

3.1.4

空间向量的正交分解及其坐标表示

学习目标

1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念；3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.

知识点一

空间向量基本定理

思考1

平面向量基本定理的内容是什么？

答案

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 思考2

平面向量的基底惟一确定吗？

答案

不惟一. 梳理

(1)空间向量基本定理

条件

结论

(2)基底

条件：三个向量a，b，c不共面. 结论：{a，b，c}叫做空间的一个基底. 基向量：基底中的向量a，b，c都叫做基向量. 知识点二

空间向量的坐标表示

思考1

平面向量的坐标是如何表示的？

答案

在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y惟一确定，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标. →→→设OA＝xi＋yj，则向量OA的坐标(x，y)就是点A的坐标，即若OA＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点). 思考2

基底不同，向量的坐标相同吗？

答案

不同. 梳理

空间向量的正交分解及其坐标表示

三个不共面的向量a，b，c和空间任一向量p

存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc

单位正交基底

空间直角坐标系

有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，记作e1，e2，e3

以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz

对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1空间向量的坐标表示

＋ye2＋ze3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)

类型一

基底的概念

例1

若{a，b，c}是空间的一个基底.试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底？

解

假设a＋b，b＋c，c＋a共面，

则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，

∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面. 1＝μ，∴1＝λ，0＝λ＋μ，

此方程组无解. ∴a＋b，b＋c，c＋a不共面. ∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底. 反思与感悟

基底判断的基本思路及方法

(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底. (2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底. ②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底. 跟踪训练1

(1)已知a，b，c是不共面的三个非零向量，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(

) A.2a

B.2b

C.2a＋3b

D.2a＋5c

(2)以下四个命题中正确的是________. ①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；

②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；

③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；

④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底. 答案

(1)D

(2)②③

解析

(2)因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以作基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确. 类型二

用基底表示向量

→→―→例2

如图所示，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，AB＝a，AD＝b，AA′＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量.

→→→→(1)AP；(2)AM；(3)AN；(4)AQ. 解

连接AC，AD′.

→1→―→1→→―→1(1)AP＝(AC＋AA′)＝(AB＋AD＋AA′)＝(a＋b＋c). 22211→1→―→1(2)AM＝(AC＋AD′)＝(a＋2b＋c)＝a＋b＋c. 22221→1―→―→1→→―→→―→(3)AN＝(AC′＋AD′)＝[(AB＋AD＋AA′)＋(AD＋AA′)]＝a＋b＋c. 2221→4―4―→→→→4―→→4―→→→1→→→1(4)AQ＝AC＋CQ＝AC＋CA′＝AC＋(AA′－AC)＝AC＋AA′＝(AB＋AD)＋AA′＝a＋555555514b＋c. 55反思与感悟

用基底表示向量的步骤

(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.

(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量. →跟踪训练2

如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设OA→→→＝a，OB＝b，OC＝c.试用向量a，b，c表示向量GH.

解

∵H为△OBC的重心，D为BC的中点，

1→1→→→2→21→→∴OD＝(OB＋OC)，OH＝OD＝×(OB＋OC)＝(b＋c). 23323→→→→2→→→→又OG＝OA＋AG＝OA＋AD，AD＝OD－OA，

32→1→→→1→→21→→∴OG＝OA＋×(OB＋OC)－OA＝(OA＋OB＋OC)＝(a＋b＋c). 32333→→→∵GH＝OH－OG，

11→1∴GH＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a. 333类型三

空间向量的坐标表示

例3

棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F、G分别为棱DD′、D′C′、→→―→BC的中点，以{AB，AD，AA′}为基底，求下列向量的坐标.

→→→(1)AE，AG，AF；

→→→(2)EF，EG，DG. 1→→→→1―→→1―→解

(1)AE＝AD＋DE＝AD＋DD′＝AD＋AA′＝0，1，2，

221→→→→1→1，，0，

AG＝AB＋BG＝AB＋AD＝22→―→――→―→―→→1→1AF＝AA′＋A′D′＋D′F＝AA′＋AD＋AB＝2，1，1. 21→→→―→→1→→1―→1―→1→1(2)EF＝AF－AE＝(AA′＋AD＋AB)－(AD＋AA′)＝AA′＋AB＝2，0，2，

222211→→→→1→→1→→1→1→1，－，－，

EG＝AG－AE＝(AB＋AD)－(AD＋AA′)＝AB－AD－AA′＝222222

1→→→→1→→→1→DG＝AG－AD＝AB＋AD－AD＝AB－AD＝(1，－，0). 222引申探究

→→―→→→→本例中，若以{DA，DC，DD′}为基底，试写出AE，AG，EF的坐标. 1→→→→1―→解

AE＝AD＋DE＝－DA＋DD′＝(－1，0，)，

221→1→→1→→→→AG＝AB＋BG＝DC＋(－DA)＝－DA＋DC＝(－，1，0)，

22211→1―→1→EF＝DD′＋DC＝(0，，). 2222反思与感悟

用坐标表示空间向量的步骤

→→→跟踪训练3

空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，→N为BC的中点，MN在基底{a，b，c}下的坐标为________. 211－，，

答案

322解析

∵OM＝2MA，点M在OA上，

2∴OM＝OA，

3211211→→→→1→→－，，. ∴MN＝MO＋ON＝－OM＋(OB＋OC)＝－a＋b＋c＝2322322

1.在以下三个命题中，真命题的个数是(

) ①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；

②若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；

③若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底. A.0

B.1

C.2

D.3 答案

C 解析

①正确.基底的量必须不共面；②正确；③不正确.a，b不共线，当c＝λa＋μb时，a、

b、c共面，故只有①②正确. 2.已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是(

) A.(12，14，10)

C.(14，12，10)

答案

A 解析

设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12，14，10). 3.若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ的值分别为________. 51答案

，－1，－

22解析

∵d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3＝e1＋2e2＋3e3，

B.(10，12，14) D.(4，3，2) α＋β＋γ＝1，∴α＋β－γ＝2，∴β＝－1，α－β＋γ＝3，1

5α＝，2γ＝－2.

4.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系.已知AB＝AD＝2，BB1＝1，→→则AD1的坐标为________，AC1的坐标为________.

答案

(0，2，1)

(2，2，1) →解析

根据已建立的空间直角坐标系知A(0，0，0)，C1(2，2，1)，D1(0，2，1)，则AD1的→坐标为(0，2，1)，AC1的坐标为(2，2，1). →→→→5.在四面体OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________.(用a，b，c表示) 111答案

a＋b＋c

244→→1→→11→→→1→→→→解析

OE＝OA＋AD＝OA＋×(AB＋AC)＝OA＋×(OB－OA＋OC－OA) 22241→1→1→111＝OA＋OB＋OC＝a＋b＋c. 244244

1.基底中不能有零向量.因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量. 2.空间几何体中，欲得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标. 3.用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则.逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示.

40分钟课时作业

一、选择题

1.以下四个命题中正确的是(

) A.基底{a，b，c}中可以有零向量

B.空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底

→→C.△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0 D.空间向量的基底只能有一组

答案

B 解析

使用排除法.因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确；△ABC为直角三→→→→→→角形并不一定是AB·AC＝0，可能是BC·BA＝0，也可能是CA·CB＝0，故C不正确；空间基底可以有无数多组，故D不正确. 2.下列说法中不正确的是(

) A.只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底

B.竖坐标为0的向量平行于x轴与y轴所确定的平面

C.纵坐标为0的向量都共面

D.横坐标为0的向量都与x轴上的基向量垂直

答案

A 解析

单位正交基底除要求模为1外，还要求三个向量两两垂直. →→→→3.若向量MA，MB，MC的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量MA，→→MB，MC成为空间一组基底的关系是(

) →1→1→1→→→→A.OM＝OA＋OB＋OC

B.MA＝MB＋MC

333

→→→→C.OM＝OA＋OB＋OC

答案

C →→→D.MA＝2MB－MC

→→→→解析

对于选项A，由结论OM＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面知，→→→→→→→→MA，MB，MC共面；对于B，D选项，易知MA，MB，MC共面，故只有选项C中MA，MB，→MC不共面. →→→→→4.已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝OA＋OB＋OC，向量b＝OA＋OB－→OC，则与a，b不能构成空间基底的向量是(

) →→→→→A.OA

B.OB

C.OC

D.OA或OB

答案

C →11解析

∵OC＝a－b且a，b不共线，

22→→∴a，b，OC共面，∴OC与a，b不能构成一组空间基底. →5.已知i、j、k是空间直角坐标系Oxyz的坐标向量，并且AB＝－i＋j－k，则B点的坐标为(

) A.(－1，1，－1)

C.(1，－1，－1)

答案

D →解析

向量AB的坐标与B点的坐标不同. 由于A点的坐标未知，故无法确定B点坐标. →→6.设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG＝xOA→→＋yOB＋zOC，则(x，y，z)为(

) 111333111222，，

B.，，

C.，，

D.，，

A.444444333333答案

A →1→→1→→解析

如图所示，连接AG1交BC于点E，则点E为BC中点，AE＝(AB＋AC)＝(OB－2OA22→→2→1→→→＋OC)，AG1＝AE＝(OB－2OA＋OC)，

33B.(－i，j，－k)

D.不确定

→→→→∵OG＝3GG1＝3(OG1－OG)，

→3→3→→∴OG＝OG1＝(OA＋AG1) 443→1→2→1→＝(OA＋OB－OA＋OC) 43331→1→1→＝OA＋OB＋OC，故选A. 444二、填空题

→7.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则AB→→的坐标为________，DC1的坐标为______，B1D的坐标为________.

答案

(1，0，0)

(1，0，1)

(－1，1，－1) →→→→→→→→→→解析

DC1＝AA1＋AB，B1D＝B1A1＋B1C1＋B1B＝－AB＋AD－AA1. 8.{a，b，c}为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x＝________，y＝________，z＝________. 答案

0

0

0 yz解析

若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x≠0，则a＝－b－c，∴a，b，c共面.xx这与{a，b，c}是基底矛盾，故x＝y＝z＝0. →→9.已知四面体ABCD中，AB＝a－2c，CD＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，→F，则EF＝________. 答案

3a＋3b－5c

解析

如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，

1→→→1→1→1→1→1则EF＝GF－GE＝CD－BA＝CD＋AB＝(5a＋6b－8c)＋(a－2c)＝3a＋3b－5c. 22222210.若四边形ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，则顶点D的坐标为____________. 答案

(5，13，－3)

→→解析

由四边形ABCD是平行四边形知AD＝BC，

→→设D(x，y，z)，则AD＝(x－4，y－1，z－3)，BC＝(1，12，－6)，

x－4＝1所以y－1＝12z－3＝－6

x＝5，解得y＝13z＝－3

，

即D点坐标为(5，13，－3). 三、解答题

11.已知向量p在基底a，b，c下的坐标是(2，3，－1)，求p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标. 解

由已知p＝2a＋3b－c，

设p＝xa＋y(a＋b)＋z(a＋b＋c)＝(x＋y＋z)a＋(y＋z)b＋zc，

x＋y＋z＝2，则有y＋z＝3，z＝－1，

x＝－1，解得y＝4，z＝－1，

故p在基底{a，a＋b，a＋b＋c}下的坐标为(－1，4，－1). 12.已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图→→→所示的空间直角坐标系，试写出DB1，DE，DF的坐标.

解

设x，y，z轴的单位向量分别为e1，e2，e3，

其方向与各轴的正方向相同，

→→→→则DB1＝DA＋AB＋BB1＝2e1＋2e2＋2e3，

→∴DB1＝(2，2，2). →→→→∵DE＝DA＋AB＋BE＝2e1＋2e2＋e3，

→→→∴DE＝(2，2，1).∵DF＝e2，∴DF＝(0，1，0). 1213.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1. 33(1)证明：A，E，C1，F四点共面；

→→→→(2)若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，求x＋y＋z的值.

→→→→→→1→2→(1)证明

因为AC1＝AB＋AD＋AA1＝AB＋AD＋AA1＋AA1

33→1→→2→→→→→→→＝(AB＋AA1)＋(AD＋AA1)＝(AB＋BE)＋(AD＋DF)＝AE＋AF，

33所以A，E，C1，F四点共面. →→→→→→→(2)解

因为EF＝AF－AE＝AD＋DF－(AB＋BE) →2→→1→→→1→＝AD＋DD1－AB－BB1＝－AB＋AD＋AA1，

33311所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝. 33