信息技术应用 图形技术与函数性质教学设计实例

基于geogebra图形计算器---探究“导数的几何意义的应用”（复习规则课）教学设计

【课题】：《探究导数几何意义的应用》（《人教A版》选修1-1第三章图形技术与函数）

【考纲要求】

1.知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。

2.通过函数图像直观地理解导数的几何意义。

【教学目标】

1.通过geogebra动态图形展示，能直观的知道导数的几何意义.（概念性知识的理解）

2.会用导数的几何意义求已知曲线的切线方程.（程序性知识的应用）

①会求曲线yf(x)在xx0处的切线方程. ②会求过曲线外一点且与曲线yf(x)相切的直线方程. 3.通过数形结合思想，能初步运用切线方程解决切线中的动态问题.（程序性知识的应用）

【任务分析】

（一）起点能力分析

易错点：学生容易把“已知点”当成切点，直接代入导数公式求斜率。

难点：根据求切线方程的步骤求出含参的切线方程，找到问题和含参切线方程的衔接点，提取有效信息（零点问题、最值问题）从而解决问题

（二）

使能目标分析

目标

1：直观的理解导数的几何意义

对导数的几何意义

有初步的理解

总目标：能初步运用切线方程解解决切线中的动态问题

目标2：会用导数的几何意义求已知曲线的切线方程

能判断已知点是否在曲线上

能判断已知点是否为切点

能求出函数的导数

函数的零点定理

（三）目标、教学与测评的一致性分析

表：目标、教学活动和测评在分类表中的位置

知识维度

事实性知识

概念性知识

程序性知识

元认知知识

认知过程维度

记忆

理解

运用

目标2，目标3，探究一，探究二

当堂检测

分析

探究二巩固提升

评价

创造

目标1

【教学过程】

一、课前小测：

f(x)x3x1在点x=1处的切线方程 . 1.曲线 32yx相切的直线方程 . 2.过点（2，3）且与抛物线 [设计意图]通过两道简单题让学生课前回顾导数几何意义的基本概念.第1小题是已知切点和求相应切线方程，在高考简单题中经常出现，如2018年全国1，2，3卷均有考查；第二题是过曲线外一点求切线方程，要求学生能判断出点（2,3）不在曲线上，不能用1,2题的方法解答。

[微课点评] [设计意图]通过课前精心准备的微课，吸引学生的注意力，让学生跟着视频讲解修正自己的答案；通过精品微课可以减少校对时间，提高学习效率。

2一、告知目标，引起注意

二、复习知识点

yf(x)，在 xx0处的导数等于在该点 (x0,f(x0))处的切线的斜率. 1.函数 2.过曲线 yf(x)上一点P(x0,y0)的曲线的切线方程为：yf(x0)(xx0)f(x0) . [设计意图]点明知识要点，通过geogebra的动态演示效果，让学生直观理解导数的几何意义，落实目标1的达成. 二、以题点知，复习巩固

三、典例精析

探究一：巩固导数的几何意义

例1.若曲线yx1(R)在(1，2)处的切线经过原点，则=(

) A.1

B.2

C.3

D.4 例2.若曲线y=kx+lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k=__________.

例3.过曲线

yx32x

上的点（1，-1）的切线方程为 ﹒

小结：1.在运用公式kf(x0)的时候，一定要明确已知点是否为切点. 2.切点(x0,y0)

满足三个方程：y0f(x0),kf(x0),

和切线y0kx0b.

[设计意图]通过三种题型，进一步巩固导数几何意义的基本应用，落实目标2的达成.三道小题都可以借助geogebra展示动态切线问题的雏形，第一小题，结合选项可以展现4副图像，直接观察得到答案.第二小题过度含参问题，已知斜率，求参数k。第三小题，进一步巩固学生对切点的正确理解，通过动态演示，让学生直观的感受第二种容易忽略的情况，找到本质问题——已知点是否是切点？让学生明白切线问题之前首要考虑已知点是否为切点，从而突破目标2. 三、促进知识的应用与迁移

探究二：探究函数切线的动态问题

例4：已知曲线C的方程是yx21.若l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．

变式1 ：已知曲线C的方程是yx1.若过点A(0，b)与曲线相切的直线相互垂直，求b的值.

2

变式2：已知曲线C的方程是yx21.若曲线C上的两条切线相互垂直交于点B,求B点的轨迹方程.

小结：1.形如直线y=kx+b的动态直线可以看成过点（0，b）的直线束，则切线方程问题可

转化为过一点（0，b）求曲线的切线问题. 2.把x0看成变量，则关于x0的切线方程yf(x0)(xx0)f(x0)的根即为切点的

横坐标；则可用方程或函数的相关性质解决相应的问题. 3.轨迹问题，首先要找到动点运动的原因，然后根据原因用相应的方法（直译法、定义法、相关点法、参数法、交轨法）解决. [设计意图]本专题是研究动态切线的静态问题，在高考中是常见的一类题型.考查化归思想，数形结合思想，函数与方程思想；三个探究由“定点问题——动点问题———轨迹问题”

由浅入深，层层递进.提升学生逻辑推理、直观想象、数学运算三方面的核心素养能力.最后还可以把探究三推广到一般二次函数的两条切线任意夹角问题，学生可以根据前面的方法课后继续研究. 【教学评价】

四、当堂检测

1.曲线y=-x+3x在点(1,2)处的切线方程是

(

). A.y=3x-1

B.y=-3x+5 C.y=3x+5 D.y=2x 3212.设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为x________．

3.（2018年全国3卷14题）曲线y(ax1)e在(0,1)点处的切线的斜率为2，则xa

.

4.设曲线C:yex，则过点（1，0）与曲线C相切的直线有（

）条. A.0 B.1 C.2 D.3 x

[设计意图]4个小题评价本节课学生掌握的程度.1，2两题检测学生目标2的达成；第3题为全国3卷原题。已知斜率求参数，和例题2一致。第4题检测目标3的达成.第4题难度较大，学生可以借助geogebra直接显示图像，帮助图像降低难度，最后归化成yf(x0)(xx0)f(x0)有几个零点的问题. 五、课堂小结

通过这节复习研究课，你学会了什么知识，能解决了哪些问题？你的收获与感受是什么呢？

1.切点(x0,y0)

满足三个方程：y0f(x0),kf(x0),

和切线y0kx0b.

2. 把x0看成变量，则关于x0的切线方程yf(x0)(xx0)f(x0)的根即为切点的横坐标；则可用方程或函数的相关性质解决相应的问题. 3.数学思想：化归思想、数形结合思想、函数与方程思想. 六、巩固提升

1.（2018年全国1卷5题）设函数f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为（

）

A:y2x

B:yx

C:y2x

D: yx

2.（2018年全国2卷13题）曲线y2ln(x1)在点(0,0)处的切线方程为

. 3.（2018年全国3卷14题）曲线y(ax1)e在点(0,1)处的切线的斜率为2，则xa

. 2x4.（2018年北京卷18题）设函数f(x)[ax(4a1)x4a3]e，若曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，求a.

5.（2018年天津卷20题）已知函数f(x)ax,g(x)logax,其中a1.

（1）求函数h(x)f(x)xlna的单调区间；

（2）若曲线f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线yg(x)在点x2,g(x2))处的切线平行，证明x1g(x2)2lnlna

lna1e（3）证明：当ae时，存在直线l，使l是曲线yf(x)的切线，也是曲线yg(x)的切线

[设计意图]全部采用2018年全国高考卷中关于切线的原题，再一次让学生重视本节内容的知识点，是高考中的一个高频热点题型.全国卷考查的在某点处的切线问题的，1，2题是已知切点求切线问题属于简单题型，第3，4题是已知切点和斜率求参数问题属于中等问题. 第5题是公切线问题属于困难题，结合函数的零点存在性定理考查切线方程根的个数问题，对学生的能力要求很高，是天津卷的压轴题. 【教学反思】

本课的教学目标既包含了概念性知识的理解（通过geogebra软件直观感受导数的几何意义），又包括了程序性知识的理解和运用（求曲线的切线，和切线方程的应用）。学生在新课学习的时候已经掌握了公式，对于直接告知是切点的切线问题可以解决。学生也因此进入一个误区，把已知点，特别是告诉一个点的时候把这个点默认成切点，通过geogebra软件直观展示还有第二种情况，从而突破难点。

本节课的学习主要作为程序性知识来学习，它属于数学规则课，它既是导数计算的延续和拓展，又是用导数几何意义研究曲线含参问题基础，为后续复习导数在函数中的应用奠定基础，具有承上启下的作用。采用的教学策略是运用信息技术的优势，直观展示抽象问题，运用类比迁移获得解决新问题的途径。教学的重点是要学生能判别出切点是否已知，并能写出切线方程；教学的难点是根据含参问题能提炼出有效的信息决解实际问题。

通过自主导学的教学方法，利用自制精品微课、geogebra动态数学软件、微客宝投屏互动技术辅助教学。激发学生的学习热情，启迪学生的思维。整个教学过程，教师做到了精讲少讲，给学生充分活动的时间与空间，让学生互相评价，总结解题经验；充分尊重了学生的思维过程。 另外通过设置例题和变式训练使学生的知识初步转化为技能。该教学设计中学生的学习起点定位准确，教学目标的设置和陈述规范准确，所开展的教学活动符合概念性、元认知和程序性知识原理的学习规律。

按照这样的教学设计，将教学过程中的各要素，如教师、学生、教材、教法等进行积极的整合，使其融为一体，创造最佳的教学氛围，既尊重了学生的主体地位，又发挥了教师的主导作用。