习题2.1教学设计一等奖

轨迹方程的求法

广州市第十七中学

数学科

肖洁

【教学目标】

1、通过一题多解复习轨迹问题的常用方法，掌握对求轨迹方程的主要方法的识别、选择能力，以及操作步骤；

2、从具体到抽象，再由抽象到具体的循环往复，使学生的认识逐步提高和深化；

3、再次对学生进行数形结合的思想和方法灌输，培养学生的兴趣、想象力和创新精神。

【重难点】

求轨迹方程常用方法的识别和选择；

【授课类型】

复习课

【教学方法】

平板辅助教学，引导发现法，研讨式教学法

【教学过程】

一、引入：

1、轨迹方程

曲线C——方程f(x,y)=0 2、轨迹方程的求法

高考要求：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系

。

这类问题除了考查考生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点！

5年统计：

2013•新课标I. 20; 2016•新课标I.23;I II.20; 2017•新课标II.20.

二、复习讲解

本部分的教学由一道例题展开，通过一题多解引出轨迹方程求法的几种常用方法。预设学生完成此题的的思维导图，在课堂上根据学生的具体解法决定复习的顺序，完全可以通过课件的交互性，进行调整。教师根据学生提出的方法进行复习和点评，最后再进行适当的补充。

求轨迹方程时常使用以下方法（回忆）：直接法、定义法、代入法、待定系数法、参数法等。

求轨迹方程的一般步骤

：建系-设点-列式-化简-检验

例

设圆C: (x1)2y21，过原点O做圆C的任意弦OQ。P为OQ中点

。求P的轨迹方程。

解题思维导图

1、直接法

设P(x,y)(x0)，

∵P为OQ中点∴CP⊥OQ

解法一：OP2CP2OC2

x2y2(x1)2y21

故P的轨迹方程为x2y2x0(x0)

解法二：OPCP0

又OP(x,y),CP(x1,y)

OPCPx(x1)y20

P的轨迹方程为x2y2x0(x0)

小结一

直接法——若动点的条件是一些几何量的等量关系，则直接利用条件建立ｘ，ｙ的关系f(x,y)=0后化简整理得到轨迹方程

解题关键：找等量关系

变式1：圆O1和圆O2的半径都等于1，O1O2=4，过动

点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN（M，N分别为

切点），使得|PM|=

|PN|。试建立平面直角坐标系，

并求动点P的轨迹方程。

解：如图所示，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，如图建立平面直角坐标系，连接O1M、O2N，O1P、O2P，则O1（-2，0），O2（2，0）.

∵PM、PN是圆O1、圆O2的切线，

∴△PO1M和△PO2N是直角三角形. ∵|PM|=|PN|，∴|PM|2=2|PN|2. ∵由两圆的半径均为1，

∴|PO1|2-1=2(|PO2|2-1). 设P（x，y）. ∴(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1]，整理，得(x-6)2+y2=33. 故点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.

2、代入法

设P(x,y)(x0)，∵P为OQ中点Q(2x,2y)

又Q在圆C: (x1)2y21上

(2x1)2(2y)21

故P的轨迹方程为x2y2x0(x0)

小结二

代入法——若动点P(x,y)依赖另一个动点Q(x0,y0)，而Q点又在某一条已知曲线上则可先列出x,y,x0,y0的方程组，利用x,y表示x0,y0代入已知曲线方程便可得到动点P(x,y)的轨迹方程。

变式2：（2017课标II，理）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP(1)

求点P的轨迹方程；

3、定义法

设P(x,y)(x0)，

∵P为OQ中点∴OP⊥CP 故P在以OC为直径的圆上， 2NM。

11故P的轨迹方程为(x)2y2(x0)即x2y2x0(x0)

24小结三

定义法——若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，则可从曲线定义出发写出曲线方程

变式3：（2013·新课标Ⅰ）已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程

解：圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3. 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R. (1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以

|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4. 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．

43*此题注意检验

4、参数法

x2y2

设P(x,y)(x0)，∵P为OQ中点Q(2x,2y)

∵ Q在圆C: (x1)2y21上

∴

设Q(cos1,sin)，

cos1x2 （θ为参数）

ysin211消参得，P的轨迹方程为(x)2y2(x0)

24小结四

参数法——若动点Ｐ(x,y)的横、纵坐标之间的关系不易找到，则可借助中间变量（参数）来表示x,y，然后消去参数就得到动点Ｐ(x,y)的轨迹方程

xy变式4：直线a＋＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是__________．2－a

xy解：直线＋＝1与x，y轴的交点为A(a,0)，B(0，2－a)，设AB的中点为a2－aM(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1.∵a≠0且a≠2，∴x≠0且x≠1.

22三、巩固训练，自我反思

完成课时作业（注意选择适当的方法） 一、本节课复习了什么内容？ 二、轨迹方程的各种求法的适用条件，以及注意事项是什么？ 三、你觉得这节课最难的地方出现在哪里？你打算如何攻克？

四、总结：今天复习的求轨迹方程的常用方法

直接法

定义法

当动点所满足的几何条件能直接用其坐标代入时,可用直接法.

分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程.

当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点的运动时,可利用代入法,其关键是找出两动点的坐标的关系,这要充分利用题中的几何条件.

如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程.参数法中常选角、斜率等为参数.

aa代入法

参数法