2.2.1 椭圆的标准方程名师教学设计1

选修1-1 ，2-1 课题:椭圆的标准方程

（第一课时）

启东市汇龙中学 王春萍

教学目标：

1.通过建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程. 2.能根据已知条件求椭圆的标准方程。

教学重点：掌握椭圆的标准方程形式和求法.

一、温故习新，导引自学

（1）椭圆的定义：平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）

的点的轨迹叫做椭圆,两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距. （2）推导椭圆的标准方程：设椭圆的两个焦点分别为F1,F2，它们之间的距离为2c，

椭圆上任一点到F1,F2的距离之和为2a（2a>2c）

建立适当的直角坐标系:以F1,F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，

建立如图所示的直角坐标系，

则F1,F2的坐标分别为

F1(c,0),F2(c,0)

设P(x,y)为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义知：|PF1||PF2|2a

即(xc)y(xc)=2a，

化简得(a2c2)x2a2y2a2(a2c2). 因为a2c20，所以可设a2c2b(b0)

F12O222yPF2x于是得b2x2a2y2a2b2(ab0). x2y2两边同除以ab,得221(ab0)

ab22这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(c,0), F2(c,0)，并且a2b2c2

y2x2焦点在y轴上的椭圆的标准方程为

221, 焦点是F1(c,0)，F2(0,c).

ab并且abc

F2222yOPxF1

二、交流质疑，精讲点拨

例1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)a=4,b=1，焦点在x轴上. (2)a=5,c=3，焦点在y轴上. (3)a+b=10,c=25 x2y21

解：(1) 16 (2)

b2a2c225916 y2x21

所求椭圆的标准方程为2516 (3)

b10a, a2(10a)220 a6

b4所求椭圆的标准方程为

x2y2y2x21或1

36163616x2y21表示椭圆，则实数k的取值范围为____3k5且k4_ 例2、(1)若方程k35kk30解：由

5k0得3k5且k4

k35kx2y2(2)若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为_52m|m|12m5

2自主讨论：

|m|152m解：

52m0m6当m0时，5 m无解

m2m252m当m0时，



52m2

x2y2(3)椭圆1的焦距为2，则m_3或5________ 4m当焦点在x轴上时，a24,b2m

2c2 c1

4m1 m3

当焦点y在轴上时，a2m,b24

2c2 c1

m415 m5 m3或5

例3、将圆x2y24上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线. 解：设所得曲线上任一点P(x,y)，圆x2y24上的对应点坐标为Q(x1,y1)，

xx1由题意可得1



yy12x1x

y12yx12y124

x24y24

x2y21，它表示一个椭圆。

即4能力提升：

已知B,C是两个定点，|BC|6，且ABC的周长为16，求顶点A的轨迹方程。

解：以BC的中点O为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，

|AB||AC||BC|16,|BC|6

yA

|AB||AC|10(106)

点A的轨迹是椭圆，

且2c6,2a10

BOCx

c3,a5,

b2a2c216

但当点A在直线BC上，

即y0时，A,B,C三点不能构成三角形，

x2y2点A的轨迹方程是1(y0)

2516三、当堂反馈，拓展迁移

1、若x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是

0k1

. 22x2y2k解：1



0k1

2220kkx2y22、已知F1、F2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点

若259F2AF2B12，则AB= 8 . 解：yA|AF1||AF2|2a

F1B|BF1||BF2|2a

OF2x|AF1||AF2||BF1||BF2|4a20

即|AB|20128

x2y2探究：当椭圆方程为221(ab0)时，ABF2周长为4a ab四、课堂小结：本节课，我们学习了椭圆的定义，以及椭圆的标准方程。掌握下列知识点：

①

abc

②

焦点在x轴上，x2的分母大；

焦点在y轴上，y的分母大。2222