2.2.1 椭圆的标准方程优秀教案

椭圆的标准方程（1）

江苏省贾汪中学

赵荣涛

教学目标：

1．进一步理解椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导．

2．掌握椭圆的标准方程，会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标，能用标准方程判定是否是椭圆．

教学重点：

椭圆的标准方程．

教学难点：

椭圆标准方程的推导．

教学方法：

引导启发、自主探究．

教学手段：

运用多媒体（计算机等）辅助教学．

教学过程：

一、问题情境

情景一

复习上节课内容，重点是椭圆的定义．上节课我们已经学习了椭圆的定义，请大家回忆一下我们是如何定义椭圆的？平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．

情景二

展示图片一，思索：油罐的横截面是不是椭圆？

情景三

展示图片二，思索：把一个圆压扁了，像一个椭圆，它究竟是不是椭圆？

情景四

展示图片三，思索：中国第一颗人造地球卫星“东方红一号”的运

动轨迹是椭圆，这是如何精确定位的呢？

师：椭圆是一个优美的图形，其中蕴涵了许多性质，那如何研究这些性质呢？

生：（思考）

师：在解析几何中，我们学过的图形有哪些？

生：直线和圆．

师：不错．那以圆为例，在解析几何中我们通过什么研究圆的性质呢？

生：圆的方程．

师：大家还记得圆的方程是怎样建立的吗？（个别提问）

生：（回答问题，教师加以引导）得出圆的标准方程的基本步骤：建坐标系、设点、列等式、代坐标、化简．

师：那么大家觉得这种方法是否适用于椭圆呢？

生：可以．

师：那么请大家来研究一下椭圆的方程是什么？

生：（研究探索椭圆的方程，教师适时加以引导）

二、建构数学

（1）如何建立适当的坐标系？原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；

（一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴．）[

①建立适当的直角坐标系：

以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示坐标系．

Fc，F，0)，F1(c，0)；

②设点：设P(x，y)是椭圆上的任意一点，F1221(c2222(xc)y(xc)y2aFPF2a③根据条件P得（1）

1122222222ac)xaya(ac)④化简：（移项，两边平方）(，

师：能否美化结论的形象？

22222ac0ac0，令acb，，

y

P

F

O

F2

x

222222xaxab则：b．

师：由直线方程的截距式是否可以得到启发？

x2y2椭圆方程为：221．（a，b即为椭圆在x，y轴上的截距）

ab

师：怎样推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程？（用小黑板做演示）

生：交换x，y就可以得到．

师：（板书两种方程和图形）

师：椭圆标准方程的特点是什么？

生：x，y轴分别为椭圆的两个对称轴，焦点在坐标轴上，焦点的中心是原点．

师：焦点位于x，y轴上时的焦点坐标分别是什么？

生：（回答，教师板书）

，b，c之间存在一个什么关系？

师：a222bc生：a

师：如何判断椭圆的焦点的位置？

生：在分母较大的对应轴上．

三、数学运用

例1

已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4

m，外轮廓线上的点到两个焦点的距离和为3

m，求这个椭圆的标准方程．

例2

将圆x2y24上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得到的曲线的方程，并说明它是什么曲线？

y

o x

练习：教材P32练习2，4．

四、回顾反思

标准方程

x2y221(ab0)

2ab

x2y221(ab0)

2bay

P

x

y

P

不同点科网ZXXK]图形

[来源:学F2

O

[来源:Z*xx*k．Com]

F

O

F2

[来源:Zxxk．Com]F

x

焦点坐标

F(c，0)，Fc(，0)

12平面内到两个定点F，F的点的轨迹

2F1(0，c)，F2(0，c)

的距离的和等于常数（大于F1F2）定义

相同点

a，b，c，的关系

焦点位置222abc

分母哪个大，焦点就在哪个轴上

的判断

五、作业

1．教材P32-33习题2．2（1）第1，4题．

2．推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程．