2.2.1 椭圆的标准方程教学目标设计

椭圆及其标准方程

一、教学目标

1．知识目标：掌握椭圆的定义，能正确推导椭圆的标准方程．

2．能力目标：通过引导学生亲自动手尝试画椭圆，让学生发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义 , 培养学生的动手能力、合作学习能力以及运用所学知识解决实际问题的能力．

3．情感目标

（1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣. （2）通过椭圆标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”. （3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识. 二、重点、难点

重点：掌握椭圆的定义及标准方程．

难点：椭圆标准方程的推导与化简．

三．教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．

四．教具准备：多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳．

五、教学过程

（一）创设情境，认识椭圆．

材料：对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.(引入课题：椭圆及其标准方程) （二）动手实验，亲身体会．

1．学生试验．

(1)取一条细绳；

(2)把细绳的两端用图钉固定在板上的两点F1、F2；

(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形是什么？

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2.分析实验，得出规律．

(1)在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？

(2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？

(3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？

学生总结规律：|MF1|+|MF2|>|F1F2|

轨迹为椭圆

（三）总结归纳，形成概念．

定义：平面内，到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆．

问：椭圆定义还可以用集合语言如何表示？MF1MF22a(2a2c). （四）合理建系，推导方程．

1.复习求曲线的方程的基本步骤：⑴建系；⑵设点；⑶列式；⑷化简；

（5）证明（可省略）（由学生回答，不正确的教师给予纠正．）

2.如何选取坐标系？

教师折椭圆，学生观察椭圆的几何特征（对称性），如何建系能使方程更简洁？

积极鼓励学生用不同建系方法，让他们充分暴露自然思维，通过比较，得出最简洁的方案，而不是被动地接受教材或老师强加给的方法．

3．推导标准方程．

选取建系方案,让学生动手，尝试推导. 按方案一：以过F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分或线为y轴，建立平面直角坐标系．设F1F22c(c0)，点M(x,y)为椭圆上任意一点，

则

PMMF1MF22a（称此式为几何条件），

∴

得xc2y2xc2y22a（实现集合条件代数化），

（想一想：下面怎样化简？）

（1）教师为突破难点，进行引导设问：

我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？化简，得 (a2c2)x2a2y2a2(a2c2)．

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（2）b的引入．

由椭圆的定义可知，2a2c, ∴a2c20．

此时设b2a2c2，于是得b2x2a2y2a2b2，

两边同时除以a2b2，得到方x2y2程：221ab0（称为椭圆的标准方程）．

ab（3）建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程． 要建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何做？

方法1：按步骤列出方程，利用两方程结构的异同（结构相同，只是字母x，y交换了位置），直接得到方程．

方法2：（视情况决定讲与否(预设)）借助于化归思想，抓住图(1)（前面方程推导时用过）与图(2)的联系(关于直线yx对称)即可化未知为已知，将已知的焦点在x轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在y轴上的椭圆的标准方程．只需将图(1)沿直线yx翻折即可转化成图(2)；

图1 图2 4．归纳概括，掌握特征．

（1）椭圆标准方程形式：它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是1；

（2）椭圆标准方程中三个参数a , b , c的关系：b2a2c2(ab0)；

（3）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定. （五）尝试应用，范例教学．

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口答：下列哪些是椭圆的方程，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？并指明a、b．

x2y2(1)22153x2y2(2)22146x2y2(4)174x2y2(3)196注意：分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然．

例1. 判断下列各椭圆的焦点位置，并说出焦点坐标、焦距。

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xy(1)134x2y2(2)142例2. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是4，0、0，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10. 4，变式一：将上题焦点改为(0,4)、(0,4)，结果如何？

变式二：将上题改为两个焦点的距离为8 ，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10 ，结果如何？（学生直接抢答）

x2y21上一点P到焦点F1的距 离等于6,则点P到练习：1.如果椭圆10036另一个焦点F2的距离是 。

2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1) a=4,b=1,焦点在x轴上；

(2) a=4,c=15 . （六）回顾反思，归纳提炼. 1.椭圆定义；2.椭圆标准方程；3.解题思想方法．

（七）课后作业，巩固提高．

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