2.2.2 椭圆的几何性质优秀教学设计

立足于完善认知结构，着眼于提升核心素养

———《椭圆的几何性质》一课的教学设计

江苏省宜兴第一中学

瞿春燕

（214200）

2017年的江苏省高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动，于9月20-22日，在依山傍水、风景似画的江苏省木渎高级中学举行，笔者有幸参加了这一次

活动，展示了苏教版选修2-1第二章2.2.2《椭圆的几何性质》一课，这节课在教学过程设计、教学活动组织和教学目标达成等方面，受到了听课老师们的肯定和好评，下面是这节课的教学设计与实施说明，与同行们分享，请专家们指正．

一、教学目标的确立

1、使学生熟悉和理解椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质，初步掌握其应用；

2、使学生经历运用椭圆的标准方程研究其几何性质的过程，从中体会运用代数方法研究几何问题的思想；

3、使学生在探究椭圆几何性质的过程中，感受数学的魅力，培养合作的意识和观察、分析、抽象和概括的能力．

二、教学重点与难点

重点：椭圆的几何性质及其探究过程．

难点：利用曲线方程研究曲线性质的基本方法和离心率的探究．

三、教学方法与手段

采用自主探究、合作交流相结合的教学方法和多媒体辅助教学的手段，以问题为先行者，运用问题串引领思考探究，展开教学活动，通过创设问题情境，引导学生观察、分析、猜测、论证，组织讨论、合作交流，启发学生积极思考，使

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学生在思考、探索和交流的过程中经历知识发生、发展的过程，体会运用代数方法研究几何问题的思想，让学生充分参与课堂活动，激发学生学习的热情．

四、教学媒体的运用

自制作图工具（细绳、大头钉）、多媒体辅助教学．

五、教学过程的设计

（一）创设情境，引入课题

问题1：给你两个大头钉和一根细绳，你能画出一个椭圆吗？

【师生活动】学生利用事先准备好的工具，小组合作画出椭圆，教师鼓励先画好的小组，在教室中展出所画的作品．

设计意图：一方面通过学生动手画椭圆这一活动，培养小组合作精神；教师鼓励先画好的同学先展出，培养学生的竞争意识，另一方面复习回顾椭圆的定义，a,b,c三个量之间的关系，椭圆的标准方程，为后面研究椭圆的几何性质做好准备．

问题2：观察所画的椭圆，你能发现这些椭圆有哪些几何特征？

【师生活动】教师启发引导

，学生观察发现、合作交流，得出椭圆具有对称性、是一封闭图形、不同的椭圆其“扁”、“圆”程度上存在差异等几何特征，由此提出本节课的学习内容——椭圆的几何性质，板书课题．

设计意图：让学生在观察椭圆的过程中，直观感知椭圆的几何特征，在学生形成较为全面、直观的感性认识的基础上，再提出“研究椭圆的几何性质”的话题，由此引入课题，这样过渡自然，学生容易接受．并且在这个过程中让学生形成问题探究的意识，体会运用数形结合的方法研究几何问题的思想．

（二）探索新知，建构数学

问题3：怎样建立直角坐标系，得出椭圆的标准方程？我们求出的标准方程

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有什么作用？

【师生活动】学生动手操作、回顾推导椭圆标准方程的过程和两种形式的标准方程，思考、讨论交流建立椭圆标准方程的用途，教师适当点拨引导．

设计意图：让学生进一步认识解析几何的两个主要任务，一是根据已知动点运动的条件求出动点轨迹的方程，二是根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，为提出运用代数方法研究几何问题作好铺垫．

（1）对称性

问题4：我们已经知道了椭圆是对称图形，那么椭圆的方程具有怎样的特点呢？利用椭圆的标准方程，如何研究椭圆的对称性呢？一般地，我们怎么利用曲线的方程研究曲线的对称性呢？

x2y2【师生活动】

以椭圆221(ab0)为例，教师动画演示，引导学生观ab察思考：

（1）在椭圆上任取一点P(x,y)，点P关于x轴的对称点坐标是什么？

（2）这个对称点还在椭圆上吗？

通过教师的启发引导和学生的讨论交流，使学生在合作探究中发现只要以x2y2y代替方程221中的y，方程不变，就能说明椭圆是关于x轴对称的，这样ab利用椭圆的方程研究了椭圆的几何性质．

进一步地，得到：把x换成x方程不变，椭圆关于y轴对称；同时把x,y分别换成x,y方程不变，椭圆关于原点对称．

所以坐标轴是椭圆的对称轴，坐标原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．

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设计意图：学生易于从直观上认识椭圆的对称性，教师需要引导学生结合方程理性分析，在广泛的联系中将直观与理性相结合，让学生既能从中感受到根据曲线的方程研究曲线的对称性的一般方法，又能培养由特殊到一般的归纳推理能力，有效地提升数学的核心素养．

（2）顶点

x2y2问题5：请大家继续观察椭圆与坐标轴还有怎样的关系？椭圆221

ab(ab0)与其对称轴相交吗？利用椭圆的标准方程，你能求出椭圆与对称轴的交点坐标吗？

x2y2【师生活动】学生动手操作，分别令方程221(ab0)中的x0,y0，abx2y2求出椭圆221(ab0)与其对称轴的四个交点坐标为A1(a,0),A2(a,0),

abB1(0,b),B2(0,b)，教师给出定义：对称轴与椭圆的交点叫做椭圆的顶点．从而x2y2得到椭圆221(ab0)的四个顶点坐标A1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b)．

ab指出线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长，这是椭圆方程中参数a和b的几何意义．

设计意图：在进一步培养学生观察、发现和运用代数方法研究几何问题的能力的同时，帮助学生建构起曲线顶点的概念，掌握曲线顶点坐标的求法，了解椭圆标准方程中参数a和b的几何意义，加深学生对椭圆方程与椭圆几何性质之间的内在联系的认识和理解．

（3）范围

问题6：我们知道椭圆是一个封闭的几何图形，这说明椭圆中的变量x,y的取

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值是有范围的，你能利用椭圆的标准方程，求出椭圆的范围吗？

【师生活动】

引导学生观察图形，展开理性思考，并结合自己的作图经验x2y2开展交流，先从图形上观察出椭圆的范围，再由椭圆的方程221(ab0)进aby2x2x2y2行推理论证，得出：2121axa；2121byb．

baab设计意图：数形结合是一个相互交融、复杂的思维过程，这个思想方法的获得不是一次性完成的．引导学生作图操作、归纳方法，反复转换数与形的表现形式，交流各自的发现，进一步体会由曲线方程研究曲线性质的方法，在相互联系中深化对椭圆性质的认识和理解．

问题7：刚才同学们提到画出的椭圆有些比较“扁”，有些比较“圆”，椭圆的“扁”“圆”程度中椭圆的方程又具有怎样的关系呢？

【师生活动】

引导学生观察所画椭圆用的绳长是一样的，为什么画出的椭圆有些比较“扁”，有些比较“圆”，得到结论：a不变，c越大，椭圆越扁；a不变，c越小，椭圆越接近于圆．

所以，利用a和c这两个量，可以刻画椭圆的“扁”的程度．

如果a和c这两个量都在变，我们把椭圆的焦距和长轴的比值称为椭圆的离心率，用e表示，即e．接下来，有两个问题：

（1）离心率的范围是什么？

（2）如何用e来刻画椭圆的“扁”的程度？

ca2b2b2因为ac0，所以0e1．又因为e12，所以e越接近于1aaacaca时，越接近于0，椭圆越扁；e越接近于0时，越接近于1，椭圆越接近于圆．

baba

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在此基础上，介绍：神州号飞船在空中飞行过程中，入轨后先是在椭圆轨道上飞行，然后通过不断变轨，最终变为圆形轨道后安全返航，这个过程就是通过离心率的计算是要相当精确的，另外，椭圆的离心率就是天文学中的偏心率，它是制约各类（不同高度）空间飞行体寿命的关键因素之一．

设计意图：椭圆的离心率是本节课的一个难点，遵循从具体到抽象、从形式到实质、由浅入深、由表及里的思维过程，从学生的最近发展区选取信息进行交流，借助动画演示和生动的问题情境，在学生清晰认识到椭圆形状可以由外部框架或内部支架确定后，教师再分析，给出离心率的合理定义，经将离心率的定义生硬地塞给学生更易于学生的接受和理解，从而更较为有效地突破教学的难点．

x2y2问题8：根据上面对椭圆221(ab0)的几何性质的研究，你能得出椭aby2x2圆221(ab0)的几何性质吗？

ab【师生活动】

在学生思考探究、小组交流的基础上，教师运用课件投影出y2x2表格，让学生填表完成对椭圆221(ab0)的几何性质的研究，并与椭圆abx2y221(ab0)的几何性质进行比较．

2ab设计意图：师生共同归纳两种椭圆的四个性质：范围、对称性、顶点、离心率，一方面可以加深学生对运用方程研究性质的思想方法的理解，另一方面通过对所学知识的系统总结，

完善学生的知识结构，同时也为下面的应用椭圆的几何性质解决具体问题打好基础．

(三）实例分析，深化理解

x2y2例1

求椭圆1的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标，259并用描点法画出这个椭圆．

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y2x2变式1：说出椭圆1的几何性质；

259变式2：方程4x2y216表示的图形是什么？你能说出它的几何性质吗？

设计意图：运用课本例题，和学生一起探究，一方面让学生进一步熟悉椭圆的几何性质，掌握根据椭圆方程研究椭圆几何性质的方法，另一方面，通过教师的板书示范，使学生掌握解题的格式，养成良好的习惯．设计了两个变式，意在拓宽学生的视野，加深学生的理解，拓展学生的思维．

例2

我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”)F2为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B（离地面最远的点）距地面2384km，AB是椭圆的长轴，地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程． 设计意图：这是一道实际应用问题，通过对这道实际应用问题的研究，一方面让学生体会由椭圆的几何性质求椭圆方程的方法，另一方面，培养学生阅读理解和数学应用的意识，激发学生数学学习的热情，提高学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力．

（四）回顾反思，总结提升

引导学生从知识、思想方法和研究问题的方法四个方面进行总结．

（1）研究了什么问题？

（2）运用了什么方法？

（3）得到了什么结论？

（4）有哪些想法体会？

设计意图：引领学生回顾课堂学习历程、收获与体会，促使学生深入思考与深度交流，使学生对本节课所学的知识、思想和方法有一个进一步的、完整的认

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识，从而完善认知结构．同时，帮助学生养成总结反思的习惯，提高归纳总结和数学表述的能力，使学生在掌握知识的同时，学会学习，实现长效发展．

（五）布置作业，延伸探究

1、完成课本36页：练习1，2，3，4，5，6．

2、根据本节课的学习，结合你的体会，写一篇题为《魅力无限的椭圆》，格式不限．

设计意图：

通过课后作业巩固本节课所学的知识和方法，

检查学生对新知的掌握情况，为学生留一个开放性的探索问题，让学习和探究延伸到课外，培养学生的创新意识，提高学生探究学习的能力．

六、教学设计的说明

“椭圆的几何性质”一课是苏教版高中数学选修２－１第２章２．２节“椭圆”第２课时的内容．在学习过椭圆的定义和标准方程以后，学生带着椭圆具有怎样的几何性质的疑问开始本节课的学习．通过研究焦点在x轴上的椭圆的标准方程，探索出椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质，从中体会通过对方程的讨论，研究曲线几何性质的方法．本节课的学习，既是对前面所学知识的一个巩固与提升，又可为之后进一步研究双曲线和抛物线作出铺垫，奠定基础．

学生经过必修2解析几何初步的学习，已经感受到解析几何的核心思想和方法：以坐标系为研究工具，将几何对象转化为代数对象，通过对代数对象的研究，进而解决几何问题．但具体地运用曲线的方程来研究曲线的几何性质，对学生来说，这还是第一次，在认知上存在一定的障碍，学习难度较大，怎样让学生充分认识和正确运用椭圆的方程来研究椭圆的几何性质，进一步体会运用代数方法研究几何问题的思想和方法，是需要着力解决的问题．

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为此，在教学中，笔者运用“问题驱动”策略，紧紧围绕着两条主线展开：一条是知识线（明线），从数学内部提出问题，通过画椭圆——看椭圆，回顾椭圆的定义和标准方程，直观地得出椭圆几何性质，再借助例题与变式训练，深化学生的理解；另一条是思想方法线，紧紧抓住椭圆的方程与椭圆的几何性质之间的关系，进行推理论证，渗透运用代数方法研究几何问题这一解析几何的核心思想，借此培养学生理性思维的能力，提升学生的数学核心素养．

构建的教学线路图如下：

数学内部情境

复习回顾

提出问题

研究什么

怎么研究

研究椭圆性质

拟定计划

合作探究

完善认知结构

总结反思

梳理优化

椭圆几何性质

研究成果

本节课的难点是离心率的讲解，为突破这一难点做了以下工作：

（1）在画图时就将离心率的问题预设在这一过程中，充分做好铺垫工作；

（2）通过观察图形发现a不变，c变化时，椭圆形状的变化，让学生加强直观感知；

（3）通过geogebra软件的动画演示，使学生深刻体会离心率的变化对椭圆形状的影响．

借助这样的几个环节，可以有效地帮助学生克服认知上的障碍，形成对离心率这一几何性质的感性认识，深化对椭圆离心率的几何意义的理解．

本节课以启发式教学为主，在适当处理教材使教学内容的逻辑顺序与学生的认知规律尽可能地统一起来的前提下，在学生的“最近发展区”不断引导探索发

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现、理性思考和合作交流．教法上：首先回忆椭圆的定义和标准方程，以问题的形式研究椭圆的几何性质，有指导地发现问题，然后进行讨论、探究、归纳总结、应用，最后通过练习加以巩固提高．学法上：尽量留给学生充足的时间思考，突出探究的过程，着力于学生的数学理解，努力使学生对新知识的建构水到渠成，在掌握知识的同时学会学习．

建构主义认为：学习不是简单的知识传递，而是学生自己建构知识的过程，这种建构是无法由他人代替的．建构主义理论的核心是：以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识的意义的主动建构．本节课通过学生动手操作，引导学生通过自己的积极思维去发现椭圆的几何特征，探索图形的变化与方程之间的内在联系，建构起自己对椭圆几何性质和运用曲线方程研究曲线性质的思想方法的认识和理解，这样的处理，可以较好地调动学生学习的积极性和主动性，促进学生理性思考的能力和数学核心素养的提升，有利于学生的长效发展和终身发展，实现真正意义上的有效教学和高效教学．

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