6.4 反三角函数第二课时教学实录

反三角函数与最简三角方程

6.4反三角函数

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考考自己 课堂演练

温故知新

1．填空

（1）arcsin233

（2）arcsin()

（3）sin(arcsin)

223（4）arccos11

（5）arccos(1)

（6）cos(arccos)

2343)

（9）tan[arctan()]

53（7）arctan3

（8）arctan(2．求下列格式的值

（1）arcsin[sin(5)]（2）arcsin(sin32)（3）arcsin(sin)

42（4）arccos(cos3)（5）arccos[cos()]（6）sin(arccos1)

2433．求下列各式中的角x

（1）sinx21,x[,]

（2）sinx,x[,]

5223221,x[o,]

2（4）tanx2,x[o,]

（3）sinx4．已知等腰三角形的高与底的比为4：6，用反余弦的形式把它的顶角和底角分别表示出来

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问题驱动 知识梳理

指点迷津

1．函数ysinx，x,的反函数叫做反正弦函数，记作yarcsinx,x1,1

22函数ycosx，x0,的反函数叫做反余弦函数，记作yarccosx,x1,1

函数ytanx，x(,)的反函数叫做反正切函数，记作yarctanx,x(,)

222．这三种反三角函数的图像和性质如下表所示

反三角函数

定义域

值域

图像

奇特性

单词返问

yarcsinx

1,1

,

22

奇函数

在1,1上是增函数

yarccosx

1,1

0,

非奇非偶函数

在0,上是减函数

yarctanx

(,)

(,)

22奇函数

在(,)上是增函数

223．常用运算关系有

（1）arcsin(x)arcsinx,x[1,1]

sin(arcsinx)x,x[1,1]

arcsin(sinx)x,x[,]

22（2）arccos(x)arccosx,x[1,1]

cos(arccosx)x,x[1,1]

arccos(cosx)x,x[0,]

（3）arctan(x)arctanx,xR

tan(arctanx)x,xR

arctan(tanx)x,x(,)

22

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师生互动 讲练平台

指导训练

考点1考察对反三角函数的概念的理解

例题1求值：arcsin(分析：

33)arccos()arctan(1)

22

解答：原式5()

364

评注：



4考点2 考察反三角函数的计算

例题2求下列各式的值

（1）tan(arctan)151（2）cos[arcsin()]（3）cos(2arcsin)3

13

4

45)]（6）arccos（5）arcsin[sin(cos(5)

5

3

（4）sin(2arccos)分析：

11解答：（1）tan(arctan)33

424（4）sin(2arccos)525

评注：

（2）cos[arcsin(（5）arcsin[sin(51217（3）cos(2arcsin)

)]1313

485（6）arccos[cos(5)]

)]33

考点3考察反三角函数的定义域和值域

例题3求下列函数的定义域和值域

（1）y2arcsin分析：

解答：

（1）由1x2（2）yarcsin(x3x3)

33

x1,得x[3,3]

3x2x4

2arcsin,2arcsin33333∴函数y=2arcsinx24的定义域是-3，3，值域是-，

3333（2）1x23x31x[1,2]

33x23x3[,1]且yarcsinx在[,1]是增函数

443arcsin(x23x3)[arcsin,]

423函数yarcsin(x23x3)的定义域是[1,2],值域是[arcsin,2]

4

评注：

考点4考察反三角函数的概念，以及如何用反三角函数来表示角

例题4用反三角函数表示适合下列条件的角x

（1）sinx,x[,分析：

解答：（1）0x1331]（2）cosx,x[3,4]

2

511,sin(x)sinxxarcsin

2331所以xarcsin

3111（2）0x3,cos(x3)cosxx3arccos()arccos

5551所以x4arccos

5

评注： 

效果反馈 基础训练

巩固提高

一、

填空题

1．求下列各式的值

（1）arcsin12)=

=

（2）arccos(22（3）arccos1=

（4）arctan(3)=

2．求下列各式的值

（1）sin(arcsin)=

（2）cos[arccos(142)]=

2（3）tan(arctan)=

（4）sin(arccos)=

3．求下列各式的值

（1）arcsin(sin1)=

（2）arcsin(sin13452)=

（3）arccos(cos)=

312

（4）arccos[cos()]=

（5）arctan[tan()]=

33（6）arctan(tan5)=

4

二、选择题

1．等式sin(arcsinx)x成立的条件是（

）

A．ox2

B．2kx2k,kz2

C．xR D．1x1

2．函数yarcsin(sinx)的定义域是（

）

B．[2,2]C．R

22

3．等式arcsin(sinx)x成立的条件是（

）

A．[1,1]A．1x1

B．D．[0,]

2x2

C．22kx22k,kz D．xR

4．已知ysinx与函数yarcsinx，下列正确说法是（

）

A．互为反函数

B．都是增函数

C．都是奇函数

D．都是周期函数

5．函数yarccosxA．奇函数

是（

）

2

C．既是奇函数又是偶函数

D．非奇非偶函数

B．偶函数

136．marccos()与narccos()的大小关系是（

）

38A．mn

B．mn

C．mn

D．以上都不对

三、解答题

1．求下列函数的定义域、值域

（1）yarcsin(x1)

（2）y2arccos(x)2．求下列各式的值

12

（3）yarctanx1

43313（1）tan(arcsin)（2）sin[arccos(（3）sin(arcsinarccos)])5

42

22

3．用反三角函数的形式表示下列各式中的x

5,x[,]

5223（3）cosx,x[o,]

4（1）sinx（5）tanx3,x(,)

22

（2）sinx1,x[,]

725,x[,o]

52

（6）tanx,x(,)32

（4）cosx

4．若sin

1053

,0，arccos（-），求证：10254

掌握规律 归纳小结

提炼方法

1．要用反三角函数值来表示角x，关键是看角x是否在反三角函数的值域内，如果角x不在反三角函数的值域内，那么可先利用诱导公式将已知条件化为所限定范围内的一个角的三角比的形式，再用反三角函数值表示这个角，然后求出x的表达式。

2．因为反三角函数也是一类函数，因此我们可以使用以前解决函数的一般方法，同时还要注意反三角函数自身的特点。