正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系多媒体教学设计及其点评

24.3 正多边形的有关概念、正多边形

与圆的关系

教学内容

1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，•正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距．

2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系．

教学目标

1、了解正多边形和圆的有关概念；

2、理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系。

重点、难点与关键

1．重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系．

2．难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系．

教学过程

一、复习引入

请同学们口答下面两个问题．

1．什么叫正多边形？

2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、•中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？

老师点评：1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；•正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．

二、探索新知

如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，•正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、•D、E、F都在这个圆上．

因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

我们以圆内接正六边形为例证明．

如图所示的圆，把⊙O•分成相等的6•段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．

∵弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EF=弧FA ∴AB = BC = CD = DE = EF = FA ∴弧BCF= 4弧BC 弧CDA=4弧BC

∴∠A=∠B 同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A 又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上

∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆．

为了今后学习和应用的方便，•我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．

外接圆的半径叫做正多边形的半径．

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

三、典例示范，应用新知

例1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆ED的半径是a，•求正六边形的周长和面积．

分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知O条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上CF钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM•中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的AMB长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．

解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的360中心角等于=60°，•△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半6径．

因此，所求的正六边形的周长为6a 11 在Rt△OAM中，OA=a，AM=AB=a 利用勾股定理，可得边心距

2211 OM=a2(a)2=223a 1133×AB×OM=6××a×a=2222 ∴所求正六边形的面积=6×3a2 例2.

有一个亭子，它的地基是半径为4米的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）

四、巩固练习

教材P106 练习1、2、3

五、归纳小结（学生小结，老师点评）

本节课应掌握：

1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，•正多边形的中心角，正多边的边心距．

2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、•正多边的边心距之间的等量关系．

六、布置作业

教材P108 习题24.3 复习巩固 第1 题 第5题