反证法优质课教案内容

24.2.1点和圆的位置关系（第二课时）

——反证法

福建省南平市邵武市第六中学

刘晓燕

一、教材内容分析

本课是在人教版九年级数学上册第24章圆的第2节点与圆的位置关系的第二课时反证法。反证法的思想早有涉及，但当时只是渗透反证法的思想，没有作为一种证明方法提出。在本章结合“过同一条直线上的三点不能作圆”，正式提出了反证法，并且在后续内容，如“圆的切线垂直于过切点的半径”的证明时得到应用。因此本节课具有承上启下的重要意义。反证法的特点是简明实用，它独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义。

二、教学目标分析

1、掌握反证法的定义；

2、掌握运用反证法的一般步骤. 重点：学会用反证法证明一些典型问题. 难点：真正理解逻辑矛盾. 三、学生情况分析

反证法不是直接证法，而是一种间接证法，对于数学基础和推理能力尚差的九年级学生来说，初学反证法是比较困难的，学生对于有些命题结论的反设，及正确找出矛盾所在会有困难。

难点突破：从学生熟悉的实例出发，反复经历反设、归谬、结论的训练来突破难点。

四、教学过程分析

一、王戎故事——引新知

1.小故事——路边苦李：从前有个聪明的孩子叫王戎。他7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么，

王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 思考：王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法? 2.王戎推理方法是:假设“李子甜”——树在道边则李子少——与已知条件“树

在道边而多子”产生矛盾——假设

“李子甜”不成立——所以“树在道边而多子,此必为苦李”

是正确的。引出课题：“反证法”。

同学们能不能根据刚刚的例子用自己的话概括出反证法的定义呢？

3.定义：一般地，先假设原命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过推理论证，得出与学过的定义、定理、基本事实或已知条件矛盾，从而得出假设不成立，即所求证的命题成立。这种证明命题的方法叫反证法。

设计意图：通过一个小故事：路边苦李，引出课题。激发学生学习的兴趣，活跃了课题，而且例子紧扣反证法，浅显易懂，易于学生理解反证法的含义。

二、有效探索——悟新知

1.思考：“一个三角形中不能有两个直角”你能证明吗？学生思考并回答。

强调文字题证明的一般步骤：1.画图。2.写出已知、求证。3.证明。

设计意图：1.让学生掌握反证法应用的基本条件是：直接证明比较难，才考虑用反证法证明。2.学生理解反证法有一定的难度，为了突破这一教学难点，我把学生很熟悉的命题，再拿来给学生研究，由于九年级学生很熟悉三角形内角和定理，很容易就能找出矛盾所在，从而向学生进行反证法潜移默化的感性教学，降低难度。进而得出反证法证明一个命题是真命题的一般步骤。

用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤是：

（1）反设：假设命题的结论不成立. （2）归谬：从这个假设和其他已知条件出发,经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果. （3）结论：由矛盾的结果，判定假设不成立，从而肯定命题的结论是正确的. 2.合作探究：思考：经过同一条直线上的三点能做出一个圆吗？

猜想：经过同一条直线上的三个点不能作圆。

文字题证明的一般步骤：1.画图。2.写出已知、求证。3.证明。

设计意图：这是教材上的一个例子，教材由此正式提出反证法，这个例题的证明对于学生来说理解有点困难，因此，我从复习过点作圆问题引入此题的证明，为学生顺利找出圆心p打下基础，进而找出矛盾所在！由浅入深，由易到难，层层递进突破难点。

三、课堂练习——化新知

1.写出下列命题，用反证法证明的第一步

（1）已知a=b，则a2=b2

（2）三角形最小的角小于或等于60°

（3）互补的两个角不能都大于90°

（4）△ABC中,最多有一个钝角

（5）同一平面内，若a⊥c，b ⊥

c，则a∥b

设计意图：反设是反证法的基础, 又是出发点,如果反设错误, 将会使整个证明错误.反设就是对原命题结论的全面否定,不能有遗漏, 要使学生学会写出结论的否定形式,做好开头。

2.试一试：

用反证法证明（填空）：

1）在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于６０°

已知：如图，

∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角

求证：

∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大于或等于６０度

证明：假设所求证的结论不成立，即∠Ａ＿60°，

∠Ｂ＿60°，∠Ｃ＿60°，则

∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ

＜

180°，这于

矛盾

所以假设命题

，所以，所原命题成立．

2）试用反证法证明：两条直线平行，同位角相等

已知：如图.AB//CD,EF交AB于点O

求证：∠1=∠2 证明：假设

，过O点作直线A'B' 使得∠EOB'__∠2 ，而∠EOB'与∠2是同位角,所以CD___A'B'。这与______________________

矛盾，故

不成立。所以______________成立。

设计意图：为了达到本节课的教学目的，同时又符合义务教育课程标准对本节知识点的要求，试一试我以填空的形式辅助学生证明，从而降低难度，使学生在证明的过程中既能体会反证法的含义，又巩固了反证法证明命题的步骤。

3.链接中考

1).（2018嘉兴）用反证法证明时，假设“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（

）

A.点在圆内

B.点在圆上

C.点在圆心上

D.点在圆内或圆上

2).（2018扬州）选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°．求证：∠A，

∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设(

)

A．∠A＞45°，∠B＞45° B．∠A≥45°，∠B≥45° C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A≤45°，∠B≤45°

变式提升：用反证法证明“在△ABC中，∠C = 90°.求证：

∠B 一定是锐角”时，应先假设：

设计意图：让学生提前接触中考反证法题型，知道中考题考反证法不是很难的，打消他们学习反证法怕难的心理，更好的从心理上接受反证法的知识。

四、反思小结——拓新知

这节课你有什么收获? 1.反证法的定义

2.反证法的一般步骤：（1）反设

（2）归谬

（3）结论

3.反证法的数学应用

设计意图：让学生通过反思小结，梳理本节课学习的知识，使知识更系统，便于学生掌握。

五、分层作业——固新知

必做题：收集一两个反证法在生活中应用的例子，并相互交流

. 选做题：尝试用不同方法求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. 设计意图：我设计有一定的梯度的作业，让学生根据自己的能力选做，这样可以面向全体学生，让各层次的学生均有所得。