习题2.3教案和学案内容

双曲线的简单几何性质（2）

教学设计

一、教学内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社

课程教材研究所，中学

数学课程教材研究开发中心编著）选修

2-1 中第二章《圆锥曲线与方程》第三节“双曲线的简单几何性质” 的第二课时，它是在学生已经掌握“双曲线的标准方程以及简单几何性质”的基础

上，进一步研究双曲线的简单几何性质以及应用．

二、教学目标设置

（一）教学目标

1．进一步掌握双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等简单几何性质. 2．能运用双曲线简单几何性质的进行较为综合的题型训练。

3．激发求知欲和学习兴趣，培养积极探索、发现新知识、总结规律的能力，培养规范

的答题习惯和语言表达能力．

（二）目标解析

1．在本节课之前，学生已经学习对椭圆和双曲线的几何性质的研究有所了解. 因此，教学中注意运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别中强化双曲线简单几何性质的知识结构及应用。

2．数学思想的教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩固深化期四

个阶段，而非能复制与灌输．在探究、应用双曲线简单几何性质的过程中进一步体会数形结合的思想．

3．在教学过程中要充分发挥学生的主观能动性，学生能干的事放心让学生干．教学过

程中，可以运用自主探究、小组讨论、主动纠错、相互交流、板演等方式，让学生开展自主

学习、合作学习、延迟判断，不要把结论抛给学生，注意学习过程中学生的自学自悟.

三、学生学情分析

（一）学生程度

任教学生为普通高二理科学生，数学基础不算扎实，但思维较为活跃，学习参与度也较高.

（二）知识层面

1．学生前面对椭圆及其简单几何性质有一定的研究，对常见圆锥曲线问题及处理方法有一定的认识积累；

2．对于双曲线的简单几何性质有了一定的了解.

（三）能力层面

1．具备一定的计算能力；

2．具有一定的数形结合解题思想的基础．

四、教学策略分析

教学目标：

1进一步理解掌握双曲线的标准方程和几何性质，特别是离心率和渐近线。

2 掌握求解弦长问题的常用方法

教学重点:

双曲线的几何性质特别是离心率和渐近线的运用，弦长问题

教学难点：双曲线的渐近线、离心率的应用及弦长的求解

教法与学法: 讲练结合

五、教学过程

1

双曲线的标准方程和简单几何性质回顾：

x2y2a2－b2＝1 (a>0，b>0) y2x2a2－b2＝1 (a>0，b>0) 标准方程

图

形

性

质

范围[来源:学#科#网]

对称性

顶点

渐近线

离心率

x≥a或x≤－a，y∈R

x∈R，y≤－a或y≥a

对称轴：坐标轴；对称中心：原点

A1(－a，0)，A2(a，0)

by＝±ax ce＝a，e∈(1，＋∞)

线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2A1(0，－a)，A2(0，a) ay＝±bx

实虚轴

叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长

a，b，c的关系

课前引入：

1、已知双曲线离心率ec2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) x241，则实轴长为8，渐近线方程为y2，虚轴长为，焦点坐标为，

2、“两双曲线有相同的渐近线”是“两双曲线互为共轭双曲线”的条件A、充分不必要B、必要不充分C、充分必要D、既不充分也不必要

设计意图：

1、

对双曲线的定义及基本性质进行回顾复习；

2、

此处用到的双曲线方程为例1所求的的结果，使例1得到的轨迹结果更加清晰直观；

3、

为例3的离心率、渐近线问题的讲解作铺垫。

2

y21有共同渐近线且过点（2，2）的双曲线C的方程；

例题1、求与双曲线x4

思路1：21)当焦点在x轴时，设双曲线方程为x22ay2b21(a0,b0)4412a23x2y2a2b则依题意有,解得2,所以所求双曲线方程为1b312b122a2）当焦点在x轴时，设双曲线方程为y22ax2b21(a0,b0)

4412a2b则依题意有,此方程组无解。所以,所求双曲线方程不存在。a2bx2y2综上所述，所求双曲线方程为1312

思路2：将点（2,2）代入渐近线方程为y2x,易知双曲线的焦点在x轴，设双曲线方程为x2y2a2b21(a0,b0)

4412a23a2b则依题意有,解得2bb122ax2y2所以所求双曲线方程为1312思路3：渐近线方程为y2x，设双曲线方程为4x2y2(0)

将点（2,2）代入上式,解得12所以所求双曲线方程为4xy22x2y212，即1312

解题小结：

x2y2x2y2xy双曲线22的渐近线方程为220，即0；abab2ab渐近线方程为xayb0的双曲线方程为x2ay2b2；（a0,b0,0）3

所以，与其中，0x2a2y2b21共渐近线的双曲线系方程为x2a2y2b2（0）,

表示焦点在x轴，0表示焦点在y轴，设计意图：

1、巩固双曲线基本性质，侧重加强对渐近线问题的理解和应用。

2、离心率和渐近线是常见而又主要的考点，因此加强训练。

3、对常识性结论的理解掌握为提高解题效率打下基础。

巩固练习：

y2x21.与双曲线1有相同的渐近线且过点M(2,23)的双曲线方程为

34x2y22、（2017•新课标Ⅰ卷）已知双曲线C：221(a0,b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半ab径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为________

．

【答案】23

3【解析】试题分析：

如图所示，作APMN，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则MN为双曲线的渐近线ybx上的点，且A(a,0)，AMANb

a[来源学§科§网]而APMN，所以PAN30，点A(a,0)到直线y

bx的距离APa|b|1ba22

在RtPAN中，cosPANPA22代入计算得a3b，即a3b

NA222由cab得c2b，所以ec2b23.a3

3b

4

例题2、

x2y25（1）已知双曲线的方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)，若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为3c(其中c为双曲线的半焦距长)，求该双曲线的离心率

【解析】

b（1）不妨取双曲线的右焦点(c，0)，双曲线的渐近线y＝ax，即bx－ay＝0，则焦点到渐近线的|bc|555493距离为c＝3c，即b＝3c，从而b2＝9c2＝c2－a2，所以9c2＝a2，即e2＝4，所以离心率e＝2

，. 巩固练习：

1 过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的直线，交双曲线于P、Q，F1是另一焦点，若∠PF1Q2，则双曲线的离心率e等于（ C ）

A 21 B 2 C 21 D 22

沙场练兵: 11．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为____

____．

2x2y22.【2017天津，理5】已知双曲线221(a0,b0)的左焦点为F，离心率为2.若经过F和P(0,4)ab两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(

) x2y2x2y2x2y2x2y21111（A）（B）（C）（D）44884884

x2y2223.【2017课标II，理9】若双曲线C:221（a0，b0）的一条渐近线被圆x2y4所ab截得的弦长为2，则C的离心率为（

）

A．2

B．3

C．2

D．23

3

课堂小结：

离心率、渐近线等是双曲线的常考知识点，要熟练掌握好。

5

课后强化练习：

x2y21. 以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为(

) 169x2y2y2x2x2y2y2x2A．16－48＝1

B．9－27＝1

C．16－48＝1或9－27＝1 D．以上都不对

【答案】

C x2y2【解析】当顶点为(±4,0)时，a＝4，c＝8，b＝43，双曲线方程为16－48＝1；

y2x2当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，b＝33，双曲线方程为9－27＝1. 2.

若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的(

)

【答案】C x2y2【解析】方程可化为y＝ax＋b和a＋b＝1.从B，D中的两椭圆看a，b∈(0，＋∞)，但B中直线有a<0，b<0矛盾，应排除；D中直线有a<0，b>0矛盾，应排除；再看A中双曲线的a<0，b>0，但直线有a>0，b>0，也矛盾，应排除；C中双曲线的a>0，b<0和直线中a，b一致．应选C. x2y23.与椭圆25＋9＝1有相同焦点，且一条渐近线为x＋15y＝0的双曲线方程是(

) x2y2x2y2x2y222A.15－y＝1

B．x－15＝1

C.12－4＝1

D．4－12＝1 x2y2【解析】选A.设双曲线方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)，

x2y2∵椭圆25＋9＝1的焦点为F(±4，0)．∴a2＋b2＝16，①

1b1又双曲线的渐近线为x＋15y＝0，即y＝－x.∴a＝，②

1515x2①、②解得a＝15，b＝1.∴所求的双曲线方程为15－y2＝1.

x224.

已知实数4、m、9构成一个等比数列，m为等比中项，则圆锥曲线m＋y＝1的离心率为(

) 30305A.6

B.7

C.6或7

D.6或7 【答案】

C 【解析】

∵4、m、9成等比数列，∴m2＝36，∴m＝±6. 6

x2230当m＝6时，圆锥曲线方程为6＋y＝1，其离心率为6；

x2当m＝－6时，圆锥曲线方程为y－6＝1，其离心率为7，故选C. 25. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，线段AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是(

) A．16

B．18

C．21

D．26 【答案】

D 【解析】

|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，

∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26. x2y26.设P是双曲线a2－9＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|＝3，则|PF2|＝(

) A．1或5

B．6

C．7

D．9 【答案】

C b3【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，∴a＝2，∵b＝3，∴a＝2. 又||PF1|－|PF2||＝2a＝4，∴|3－|PF2||＝4.

∴|PF2|＝7或|PF2|＝－1(舍去)．

x2y21有相同渐近线的是曲线方程为: 7、经过点M(26，26)且与双曲线43Ax26y281By28x261Cy26x281Dx28y261

x2y28.

双曲线16－9＝1上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点到左焦点的距离为________. 【答案】

13 1【解析】由a＝4，b＝3，得c＝5.设左焦点为F1，右焦点为F2，则|PF2|＝2(a＋c＋c－a)＝c＝5，由双曲线的定义，得|PF1|＝2a＋|PF2|＝8＋5＝13.[来源:Z§xx§k.Com] y2→·→9.

已知双曲线x－2＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1MF2＝0，则点M到x轴的2距离为________. 7

【答案】

233

【解析】由条件知c＝3，∴|F1F2|＝23，

→·→＝0，∴|MO|＝1|FF|＝3，

∵MFMF122122x20＋y0＝32设M(x0，y0)，则2y0x－＝102

，

224∴y0＝，∴y0＝±3233.

故所求距离为3. 3x2y2-1上截得的弦长为4，其斜率为2，则l的方程为 10、直线l在双曲线32x2y211、已知双曲线C:1(a0,b0)42(1)过双曲线右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线C交于A、B两点，求弦AB的长；

(2)直线yx3与双曲线C交于A、B两点，求AB；

12.F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，SF1PF2＝123，其离心率为2，求双曲线的标准方程．

x2y2【解析】设双曲线方程为a2－b2＝1.

c因|F1F2|＝2c，而e＝a＝2.

由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a＝c.

由余弦定理，得

(2c)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ∠F1PF2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|(1－cos 60°)，

化简，得4c2＝c2＋|PF1|·|PF2|.

1又SF1PF2＝2|PF1|·|PF2|·sin 60°＝123，

所以|PF1|·|PF2|＝48.

即3c2＝48，c2＝16，得a2＝4，b2＝12.

x2y2故所求双曲线的方程为4－12＝1.

8