3.1.3 空间向量的数量积运算教学创新设计

3.1.3 空间向量的数量积运算

问题导学

一、空间向量数量积的计算

活动与探究1 如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：

(1)EFBA；(2)EFBD；

(3)EFDC．

迁移与应用

1．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝1，C＝30°，则BCCA＝__________．

2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．

计算：(1)BCED1；

(2)BFAB1；

(3)EFFC1．

1．在几何体中进行向量的数量积运算时，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算．在解题过程中要注意两向量的夹角，正确运用两向量夹角的定义．

2．有关数量积的运算应注意的问题：

(1)与数乘运算区分开，数乘运算的结果仍是向量，数量积的结果为数量；

(2)书写规范：不能写成a×b，也不能写成ab．

二、向量夹角的计算

活动与探究2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求向量BC1与AC的夹角的大小．

迁移与应用

π1．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值3为(

)．

121A．

B．

C．－

D．0 2222．如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．

1．求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合，从而转化为求平面角的大小．平面角的大小通过解三角形即可求得，此法就是求两个向量夹角的平移法．

a·b2．由两个向量的数量积定义得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，可转化为求两|a||b|个向量的数量积及两个向量的模，求出〈a，b〉的余弦值进而求得〈a，b〉的大小．在求a·b时，注意结合空间图形把a，b表示成基向量的形式，进而化简得出a·b的值．

三、向量数量积的应用

活动与探究3 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，

P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：B1O⊥平面PAC．

迁移与应用

1．如图，已知ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，则PC的长为__________．

2．如图，空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC．

求证：OA⊥BC．

利用空间向量的数量积以及性质可以解决如下问题：

(1)求空间中两点间的距离或线段长度，可以理解为求相应线段所对应的向量的模．

(2)求空间中两直线的夹角，尤其是异面直线所成的角．

(3)证明线线垂直，可以通过计算两条直线所对应向量的数量积为零，从而说明两直线垂直．

当堂检测

1．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是(

)．

A．AB与A'C'

B．AB与C'A'

C．AB与A'D'

D．AB与B'A'

答案：A

解析：A，B，C，D四个选项中各对向量的夹角依次是45°，135°，90°，180°，故选A．

2．在正方体ABCD－A1 B1C1D1中，棱长为1，则ACAD1等于(

)．

A．0

B．1

C．

D．－1 答案：B

解析：AC·AD1＝(AB＋AD)·(AD＋AA1) 2＝AB·AD＋AB·AAAA1

1＋AD＋AD·＝0＋0＋1＋0＝1．

3．如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(

)．

A．2BAAC

B．2ADBD

C．2FGCA

D．2EFCB

答案：B

解析：2BA·AC＝2|BA|·|AC|·cos 120°＝－a2；

BD＝2|AD|·2AD·|BD|·cos 60°＝a2；

2FG·CA＝AC·CA＝－a2；

CB＝BD·CB＝|BD|·2EF·|CB|·cos 120°＝12a．

24．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是__________．

答案：90°

解析：如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立坐标系D－xyz．

设正方体的棱长为2，

则MADN＝0，故异面直线A1M与ND所成角1＝(2，－1,2)，DN＝

(0,2,1)，MA1·为90°．

5．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为__________．

答案：23

解析：∵AC1＝AB＋AD＋AA1，

∴|AC1|＝(ABADAA1)

＝2ABADAA12ABADABAA1ADAA1．

222∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，

∴〈AB，AD〉＝90°，〈AB，AA．

1〉＝〈AD，AA1〉＝60°∴|AC1|＝1492(13cos6023cos60)

23．