3.1.3 导数的几何意义教案设计（一等奖）

3.1.3 导数的几何意义

【教学目标】

知识与技能目标：

本节的中心任务是研究导数的几何意义及其应用，概念的形成分为三个层次：

(1) 通过复习旧知“求导数的两个步骤”以及“平均变化率与割线斜率的关系”，解决了平均变化率的几何意义后，明确探究导数的几何意义可以依据导数概念的形成寻求解决问题的途径. (2) 借助两个类比的动画，从圆中割线和切线的变化联系，推广到一般曲线中用割线逼近的方法直观定义切线. (3) 依据割线与切线的变化联系，数形结合探究函数f(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义，使学生认识到导数f(x0)就是函数f(x)的图象在xx0处的切线的斜率.即：

f/x0limx0fx0xf(x0)＝曲线在xx0处切线的斜率

x在此基础上，通过例题和练习使学生学会利用导数的几何意义解释实际生活问题，加深对导数内涵的理解.在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法. 过程与方法目标：

(1) 学生通过观察感知、动手探究，培养学生的动手和感知发现的能力.

(2) 学生通过对圆的切线和割线联系的认识，再类比探索一般曲线的情况，完善对切线的认知，感受逼近的思想，体会相切是种局部性质的本质，有助于数学思维能力的提高. (3) 结合分层的探究问题和分层练习，期望各种层次的学生都可以凭借自己的能力尽力走在教师的前面，独立解决问题和发现新知、应用新知. 情感、态度、价值观：

(1) 通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值；

(2) 在教学中向他们提供充分的从事数学活动的机会，如：探究活动，让学生自主探究

新知，例题则采用练在讲之前，讲在关键处.在活动中激发学生的学习潜能，促进他们真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展. 【教学重点与难点】

重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数形结合、以直代曲的思想方法. 难点：发现、理解及应用导数的几何意义. 【学法指导】

通过设计环环相扣的思考问题，引导学生主动地参与探究活动，体验学习的乐趣，教师在这个过程中不打断学生的思路，学生可以根据学案超前完成活动，期望有能力的学生走在老师的前面，同时，学生也可以根据需要寻求老师和同学的帮助，以更好地在课堂上完成学习任务. 使学生充分经历“探索感知——讨论归纳——发现新知——应用新知解释现象”这一完整的探究活动，以获得理智和情感体验，让学生感受到数学知识的产生是水到渠成的.学生自主探索、动手实践、合作交流的学习方式，体现在整个教学过程中. 【数学知识线索】

平均变化率

数形结合

瞬时变化率

导

数

应

用

割线的斜率

类

比

切线的斜率

导数的几何意义

函数的增减性

割

线

逼

近

【教学流程】

切

线

复习旧知，自然引出研究问题动画类比、知识迁移，获得切线新定义

数形结合，学生探索获得导数的几何意义

通过例题和练习，巩固知识，加深对导数的认识

【教学过程】

一、创设情境

（一）平均变化率、割线的斜率

（二）瞬时速度、导数

xx0处的瞬时变化率,反映了函数yf(x)在我们知道,导数表示函数yf(x)在xx0附近的变化情况,导数f(x0)的几何意义是什么呢？

二、新课讲授

1.曲线的切线及切线的斜率

如图,当Pn(xn,f(xn))(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn的变化趋势是什么？

我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PPn趋近于确定的位置, 这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

问题: (1)割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？

(2)切线PT的斜率k为多少？

容易知道,割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0)Pxnx0,当点n沿着曲线无限接近点P时, klimx0kn无限趋近于切线PT的斜率k,即说明: (1)设切线的倾斜角为,

f(x0x)f(x0)f(x0)x

那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在(2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. 2.导数的几何意义

xx0处的导数. xx0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率, 函数yf(x)在即f(x0)limx0f(x0x)f(x0)kx

说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②求出函数在点x0处的变化率f(x0)limx0f(x0x)f(x0)kx得到曲线在点

(x0,f(x0))的切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程. 3.导函数

xx0处求导数的过程可以看到,当xx0时,f(x0)是一个

由函数yf(x)在确定的数,那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数. 记作:f(x)或y,即f(x)ylimx0f(xx)f(x)x.

注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数. xf(x0)、导函数f(x)、导数之间的区别与联系

4.函数f(x)在点0处的导数

(1)函数在一点处的导数f(x0),就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的

极限,它是一个常数,不是变数. (2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数. 'xf(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值,这也是

f(x)0(3)函数在点处的导数求函数在点x0处的导数的方法之一. 三、例题精析

2yf(x)x1在点P(1,2)处的切线方程. 例1：

(1)求曲线2y3x(2)求函数在点(1,3)处的导数. [(1x)21](121)2xx2y|x1limlim2x0x0xx解: (1)

所以,所求切线的斜率为2

因此,所求的切线方程为y22(x1)即2xy0

3x23123(x212)y|x1limlimlim3(x1)6x1x1x1x1x1(2)因为

所以,所求切线的斜率为6, 因此,所求的切线方程为y36(x1)即6xy30

2h(x)4.9x6.5x10, 例2 ：如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数根据图象,请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况.

解: 我们用曲线h(t)在t0、1、tt2处的切线,

刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况. (1)

当tt0时,曲线h(t)在t0处的切线0平行于x轴, l

所以,在(2)当tt0附近曲线比较平坦,几乎没有升降. tt1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h(t1)0, tt1附近曲线下降, 所以,在2h(x)4.9x6.5x10在tt1附近单调递减. 即函数(3)当tt2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)0, tt2附近曲线下降, 所以,在2h(x)4.9x6.5x10在tt2附近单调递减．

即函数从图3.1-3可以看出,直线1的倾斜程度小于直线2的倾斜程度, 这说明曲线在1附近比在lltt2附近下降的缓慢. 例3：如图,它表示人体血管中药物浓度cf(t)(单位:mg/mL)随时间t(单位:min)变化的图象.根据图象,估计t0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).

解: 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度f(t)在此时刻的导数, 从图象上看,它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率. 如图,画出曲线上某点处的切线,利用网格估计这条切线的斜率, 可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值. 作t0.8处的切线,并在切线上去两点,如(0.7,0.91),(1.0,0.48), k则它的斜率为0.480.911.41.00.7,所以f(0.8)1.4

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:

四、课堂练习

3yf(x)x1.求曲线在点(1,1)处的切线. 2.求曲线y五、课堂小结

x在点(4,2)处的切线. 导数反映了函数的变化率，从图形上来看，表现为切线的斜率，如果导数为正，则切线的斜率为正，切线呈上升趋势，曲线在该点附近也是上升趋势，函数单调增；如果导数为负，则切线的斜率为负，切线呈现为下降趋势，曲线在该点附近也是下降趋势，函数单调减. .