2.3 抛物线（通用）教案3

2.3.1 抛物线及其标准方程

一、教学目标

1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程

2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程

3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观，并进一步感受坐标法及数形结合的思想。

二、教学重点

抛物线的定义及标准方程

三、教学难点

抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）

四、教学过程

（一）复习旧知

在初中，我们学习过了二次函数yaxbxc，知道二次函数的图象是一条抛物线

例如：（1）y4x，（2）y4x的图象（展示两个函数图象）：

222 （二）讲授新课

1.课题引入

在实际生活中，我们也有许多的抛物线模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的萨尔南拱门,它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物。到底什么样的曲线才可以称做是抛物线？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容.（板书： 2.3.1 抛物线及其标准方程）

2.抛物线的定义

如图,把一根直尺固定在画图板内直尺l的位置上,截取一根绳子的长度等于AC的长度,现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处,另一端用图钉固定在F处;用一支粉笔扣着绳子,紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧,然后使三角板

紧靠着直尺上下滑动,这样粉笔就描出一条曲线.

可以发现，点M随着三角板紧靠着直尺上下滑动的过程中，始终有|MC|=|MF|,即点M与定点F和定直线l的距离相等。

我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 思考：若F在l上呢？（此时为过F点且与直线l垂直的一条直线.）

3.抛物线的标准方程

从抛物线的定义中我们知道，抛物线上的点Mx,y满足到焦点F的距离与到准线l的距离相等。那么动点Mx,y的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？

要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系. 问题

设焦点F到准线l的距离为p(p0)，你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程？按照你建立直角坐标系的方案，求抛物线的方程. 1 2 3

y22pxp2(p0)

y22pxp2(p0)

y22px(p0)

注意：1.标准方程必须出来，此表格在黑板上板书。

2.若出现比较复杂建系方案，可以以引入的字母参数较多为由，先排除计算

3.强调P的意义。

4.教师说明曲线方程与方程的曲线：从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都满足方程，以方程的解x,y为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等，即方程的解为坐标的点都在抛物线上。所以这些方程都是抛物线的方程. 师：观察4（3）个建系方案及其对应的方程，你认为哪种建系方案使方程更简单？

（学生选择，说明1.对称轴 2.焦点 3.方程无常数项，顶点在原点）

推导过程：取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的

垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如右图所示，则有F（设动点M（x,y），由抛物线定义得：(x2pp,0）,l的方程为x=—. 22p2p2)y2x，化简得y=2px(p＞0) 22师：我们把方程y2px(p0)叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是程是xp,0，准线方2p。

2师：在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程，对于抛物线，当我们选择如图三种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程：

图形

标准方程

焦点坐标

（p,0）

2准线方程

y2=2px(p＞0)

x=—

x=p

2p

2

y2=—2px(p＞0)

（—

p,0）

2

x2=2py(p＞0)

（0,

p）

2

y=—

p）

2p

2

x2=—2py(p＞0)

(三)例题讲解

（0,—y=p

2例1（1）已知抛物线的标准方程是y6x，求它的焦点坐标和准线方程, （2）已知抛物线的焦点是F0,2，求它的标准方程. 解：（1）∵抛物线方程为y=6x ∴p=3，则焦点坐标是（（2）∵焦点在y轴的负半轴上，且

变式训练1：



已知抛物线的准线方程是x=—22233，0），准线方程是x=—. 22p2=2，∴p=4。则所求抛物线的标准方程是：x=—8y.

21，求它的标准方程. 4

已知抛物线的标准方程是2y+5x=0,求它的焦点坐标和准线方程.

解(1)∵准线方程是x=—211p1，∴抛物线开口向右，且=，则p=

2442∴所求抛物线方程是y=x (2)∵抛物线方程是2y+5x=0，即y=—2255x，∴p=

2455则焦点坐标是F(—,0)，准线方程是x=

88例2 点M与点F（4，0）的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程. 解：如右图所示，设点M的坐标为（x,y) 由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离.根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点的抛物线. ∵p=4，∴p=8 22因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为y=16x. 变式训练2：

在抛物线y=2x上求一点P，使P到焦点F与到点A（3，2）的距离之和最小. 解：如下图所示，设抛物线的点P到准线的距离为|PQ| 由抛物线定义可知：|PF|=|PQ| ∴|PF|+|PA|=|PQ|+|PA| 显然当P、Q、A三点共线时，|PQ|+|PA|最小. ∵A(3,2)，可设P（x0,2)代入y=2x得x0=2 故点P的坐标为（2，2）. (四)随堂练习

1．抛物线y＝－8x的焦点坐标是(

) A．(2,0)

B．(－2,0) C．(4,0) D．(－4,0) 【解析】

由y＝－8x，得2p＝8，∴＝2.从而抛物线的焦点为(－2,0)．【答案】

B 22．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是(

) A．y＝－8x B．y＝8x C．y＝－4x D．y＝4x

【解析】

由准线x＝－2及顶点在原点，∴焦点F(2,0)，p＝4.∴抛物线的方程为y＝8x. 【答案】

B 3．若动点P到定点F(－4,0)的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点的轨迹是(

) A．抛物线 B．线段 C．直线 D．射线

【解析】

由抛物线的定义可知，点P的轨迹是抛物线．【答案】

A 4．抛物线y＝－2px(p＞0)上有一点M的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标．

2222222222p

【解】

设焦点为F－，0，M点到准线的距离为d.则d＝|MF|＝10，即9＋＝10. 22∴p＝2，∴抛物线方程为y＝－4x，

将M(－9，y)代入抛物线的方程，得y＝±6.∴M点坐标为(－9,6)或(－9，－6).

(五)小结

1、抛物线的定义；

2、抛物线的四种标准方程；

3、注意抛物线的标准方程中的字母P的几何意义. (六)课后反思

2pp