小结教案1

§8.3空间向量在立体几何中的应用

一.教学目标：1.掌握空间向量的有关概念及线性运算、空间向量的共线定理、共面定理及应用（类比平面向量）；

2.熟练掌握空间向量的正交分解、空间直角坐标系的建立及坐标运算；

3.掌握空间直线的方向向量、平面的法向量的概念及求法；

二.教学重点：1.空间直角坐标系的建立及坐标运算；

2.掌握空间直线的方向向量、平面的法向量的概念及求法；

难点：1. 空间直角坐标系的建立方法；

2.空间一点在已知的空间直角坐标系的坐标找法；

3.直线的方向向量与平面的法向量的求法（理解）. 三.教学过程：

（一）考点知识梳理：

（二）热身练习：

1.空间直角坐标系及有关概念：

1.在正三棱柱ABCA1B1C1中,若⑴空间直角坐标系的概念：

OABCD1A1B1C1是单位正方体，以O为原点，分别以OA,OC,OD1的长为单位长度，建立三条两两垂直的数轴：x轴，

y轴，AB2BB1,求AB1与C1B所成角的大小

z轴，则称建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点, x轴,y轴,z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面. ⑵点的坐标：空间一点M在空间直角坐标

系中的坐标可以用有序实数组x,y,z表示，

记作Mx,y,z，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标. 2.空间向量的概念与运算：

⑴空间向量的概念：同平面向量的概念

⑵空间向量的运算：

设ax1,y1,z1,bx2,y2,z2，则

①abx1x2,y1y2,z1z2；

1

②ax1,y1,z1；

③ababcosx1x2y1y2z1z2；

（其中为a与b的夹角）

2. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F分别为AB,C1D1的中点，求A1B1与平面

A1EF所成角的正切值.

④若Ax1,y1,z1,Bx2,y2,z2，则

ABx2x1,y2y1,z2z1；

注：空间两点间的距离：

222ABx2x1y2y1z2z1；

⑤设向量a与b的夹角为，则

abx1x2y1y2z1z2;

cos222222abx1y1z1x2y2z2

⑥向量a在向量b上的投影：

abx1x2y1y2z1z2. acosa,b

222bx2y2z2

⑶向量的共线与垂直：

设ax1,y1,z1,bx2,y2,z2，则

①a∥bx1x2,y1y2,z1z2；

x1y1z1x2y2z20；

或a∥bx2y2z2

②abx1x2y1y2z1z20；

⑷空间直线的方向向量:(与直线平行的向量)

设Ax1,y1,z1、Bx2,y2,z2l，则

直线l的方向向量为：

2注：aax1y12z12

22

2

aABx2x1,y2y1,z2z1；

⑸空间平面的法向量：（与平面垂直的向量）

已知点A,B,C，且Ax1,y1,z1，

Bx2,y2,z2,Cx3,y3,z3,求平面的法向量：3. 在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，

AA11AB=4，点M为C1C的中点，过2A1,B,M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.

设平面的一个法向量为nx,y,z

⑴求二面角BA1NB1的正切值；

则nABnAC，所以nAB0nAC0

⑵点A到平面A1BM的距离.

3 用赋值法求出一个法向量.

4.已知，在四棱锥PABCD中，

PA平面ABCD,底面ABCD为矩形，且PAAD,E,F分别为线段AB,PD的中点，求证：⑴AF∥平面PEC；

⑵AF平面PCD.

4

（三）巩固练习：

1.已知直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA12,M为BC1的中点，N为A1B1的中点，求MN.

2.在正四棱锥PABCD中，底面边长和侧棱长都为2，点E在侧棱PC上，点F在底面ABCD的对角线BD上，试求E、F两点间的最短距离.

5 

3.已知点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，PDA60.

⑴求DP与CC1所成角的大小；⑵求DP与平面AA1D1D所成角的大小.

4.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，

则BM与AN所成的角的余弦值为

.

6 

5.已知，在三棱锥PABC中，ACBC2,ACB90,APBPAB,PCAC. ⑴求证：PCAB;⑵求二面角BAPC的余弦值；⑶求点C到平面APB的距离.

（四）课堂小结：

1.空间直角坐标系；2.空间向量的概念与运算；

3.点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量；

4.空间向量与空间角、空间距离. （五）作业：

1.全品课时作业

2.整理本节学案；

3.预习“空间中的平行关系”.

7