3.1.3 导数的几何意义教案和学案内容

3.1.3 导数的几何意义

【问题导思】

1．我们知道，导数f′(x0)表示函数f(x)在x0处的瞬时变化率，反映了函数f(x)在x＝x0附近的变化情况，那么，导数f′(x0)是否有一定的几何意义呢？

2．如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)，沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))

时，割线PPn的变化趋势是什么？

例2. 求曲线y＝x2＋1在点P(1,2)的切线方程

11

例1.

求曲线y＝在点A(，2)处的切线的斜率，并写出切线方程．

x2

【提示】

点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于过点P的

PT. 3．第1、2、3题图中割线PPfxn－fx0n的斜率kn＝xn－x0，当点Pn无限趋近于点P时，此斜率与切线PT的斜率有何大小关系？

【提示】

kn无限趋近于

线PT的

．

【讲解新课】：

1．设点P(x0，f(x0))，Pn(xn，f(xn))是曲线y＝f(x)上不同的点，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率klimf(xn)f(x0)xx

n0xnx0

2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处

，在点P的切线方程为

【例题讲解】

导数的几何意义 第 1 页

共 3 页

变式训练

1. 求：曲线y＝x2＋x＋1在点(1,3)处的切线方程．

2.已知y＝f(x)的图象如图3－1－1所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(

) 图3－1－1

A．f′(xA)＞f′(xB)

C．f′(xA)＜f′(xB)

B．f′(xA)＝f′(xB)

D．f′(xA)与f′(xB)大小不能确定

3.抛物线y＝14x2在点Q(2,1)处的切线方程

例3. 抛物线y＝x2在点P处的切线与直线4x－y＋2＝0平行，

求：P点的坐标及切线方程．

变式训练

1.已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切．

(1)求a的值；

(2)求切点的坐标．

2.直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切．

(1)求a的值；

(2)求切点的坐标．

例4.已知曲线y＝2x2－7，求曲线过点P(3,9)的切线方程．

导数的几何意义 变式训练

1.求曲线y＝1x过点(1,0)的切线方程．

2. 求过曲线y＝f(x)＝x3上的点(1,1)的切线方程．

小结

1.函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)，相应地，切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

2.当点不在曲线上时，应该根据导数的几何意义，设出切点，并求出

课后练习

1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(

) A．不存在

B．与x轴平行或重合

C．与x轴垂直

D．与x轴斜交

2．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么(

) A．f′(x0)＞0

B．f′(x0)＜0 C．f′(x0)＝0

D．f′(x0)不存在

3．抛物线y＝2x2在点P(1,2)处的切线l的斜率为

．

2 页

共 3 页

第

311，－，则过点P的切线的倾斜角为(

) 4．已知曲线y＝x2－2上一点P22A．30°

B．45°

C．135°

D．165°

5．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为(

)A．4

B．16

C．8

D．2 173．曲线y＝x3－2在点(－1，－)处切线的倾斜角为(

) 33A．30°

B．45°

C．135°

6．已知函数f(x)在点(3,4)处的

117．曲线y＝在点(，1)处的切线方程为________．

2x2

8．曲线y＝2x－x3在点(1,1)处的切线方程为

9.在曲线y＝x2上过哪一点的切线，

(1)平行于直线y＝4x－5；

(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；

(3)与x轴成135°的倾斜角．

切线与直线4x－y－3＝0垂直，则y′|x＝3等于________．

D．60°

[来源学科网ZXXK]高中对切线的理解

圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线

y

切线

Ox

１．曲线的切线

如图，设曲线c是函数yf(x)的图象，点P(x0,y0)是曲线

c 上一点作割线PQ当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线

yy=f(x)QyPxMO

110．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2.求f(1)与f′(1)的值．

2

x

例题验证

例

已知：曲线C：y＝x3.

求：

(1)曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；

(2)(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？

导数的几何意义 第 3 页

共 3 页