习题2.4教案1

补充：蒙日圆与圆锥曲线

x2y2定理1.曲线:221的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆x2y2a2b2. ab定理1的结论中的圆就是蒙日圆. 【解析】①.当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是(a,b)，或(a,b).

②.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是(x0,y0)(x0a,且y0b)

所以可设曲线的过点P的切线方程是yy0k(xx0)(k0). x2y21由a2b2得(a2k2b2)x22ka2(kx0y0)xa2(kx0y0)2a2b20

yyk(xx)00由其判别式的值为0，得(x0a2)k22x0y0ky0b20(x0a20)

因为kPA,kPB是这个关于k的一元二次方程的两个根，所以kPAkPB由此得kPAkPB1x0y0a2b2

进而可得欲证成立. 22222y0b2

22x0a2x2y2定理2 双曲线221(ab0)的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆

abx2y2a2b2

【解析】略

值得注意的是：抛物线y2px的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线. 不存在蒙日圆. 2

【调研1】已知O:x2y21. 若直线ykx2上总存在点P，使得过点P的O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是_________. 【解析】(,1][1,)

∵点P在圆x2y22上

∴直线ykx2与圆x2y22有公共点. ∴d21k21，解之得k(,1][1,)

x2y2【调研2】给定椭圆C：221(ab0)，称圆心在原点O，半径为a2b2的圆ab是椭圆C的“准圆”，若椭圆C的一个焦点F(2,0)，其短轴上的一个端点到F距离为3

（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；

（2）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1,l2，交“椭圆”于MN ①.当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求证直线l1,l2的方程，并证明l1l2；

②求证：线段MN的长为定值. 【解析】（1）因为c2,a3，所以b1

x2y21，准圆的方程为x2y24

所以椭圆的方程为3（2）①因为准圆xy4与y轴正半轴的交点为P（0，2）,

设过点P（0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为ykx2,

22ykx222所以x2，消去y

，得到(13k)x12kx90分

2y13因为椭圆与ykx2只有一个公共点

所以144k49(13k)0

解得k1

所以l1,l2方程为yx2,yx2.

（2）①当l1,l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，

22

因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x当l1方程为x3或x3，

3时，此时l1与准圆交于点(3,1),(3,1)，

此时经过点(3,1)(或(3,1))且与椭圆只有一个公共点的直线是

y1(或y1)，即l2为y1(或y1)，显然直线l1,l2垂直；

同理可证

l1方程为x3时，直线l1,l2垂直.

……………10分

②

当l1,l2都有斜率时，设点P(x0,y0)，其中x0y04，

设经过点P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为yt(xx0)y0, 22ytx(y0tx0)则x2，消去y得到x23(tx(y0tx0))230，

2y13即(13t2)x26t(y0tx0)x3(y0tx0)230, [6t(y0tx0)]24(13t2)[3(y0tx0)23]0，

经过化简得到:(3x0)t22x0y0t1y00, 因为x0y04，所以有(3x0)t22x0y0t(x03)0, 设l1,l2的斜率分别为t1,t2,因为l1,l2与椭圆都只有一个公共点

所以t1,t2满足上述方程(3x0)t22x0y0t(x03)0, 所以t1t21，即l1,l2垂直.

综合①②知：因为l1,l2经过点P(x0,y0)，又分别交其准圆于点M，N，且l1,l2垂直，

所以线段MN为准圆xy4的直径，所以|ＭＮ|＝４

2222222222x2y2【调研3】已知椭圆221(ab0)，该椭圆上左下定点与右焦点围城的四边形面ab积为33，离心率为1

2（1）求椭圆的方程

（2）如图，若矩形ABCD的四条边都与该椭圆相切，求矩形ABCD面积的最大值

12(ac)2b33c1【解析】（1）由题意有e，解之得a2,b3,c1

a2a2b2c2x2y2∴椭圆方程为1

43

（2）令A(x0,y0)

当AB的斜率为0或者不存在时，容易得到S四边形ABCD83

当AB的斜率存在且不为0时

x2y21有

设直线AB：yy0k(xx0)，联立椭圆43

(34k2x)28kk(x0x0y)∵直线AB与椭圆相切

∴△＝[8k(kx0y0)]24(34k2)((kx0y0)212)

40(kx20y)

210＝16(4k2(kx0y0)23(kx0y0)294k2(kx0y0)212k2)0

即k2x022kx0y0y0234k20……………………………………………………①

同理，由直线AD也与椭圆相切，可以得到222212112x2()xyy340

000202kkk即x02kx0y0ky03k40……………………………………………………②

即A点在以原点为圆心半径为7的圆上.

∴四边形ABCD为原点为圆心，半径为7的内接长方形，只有当ABCD为正方形的时候

面积最大，即S四边形ABCD的最大值为14. x2y25作业：已知椭圆C:221(ab0)的一个焦点为(5,0)，离心率为．

ab3(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．

c55，a3，b2a2c2954

aa3x2y2椭圆C的标准方程为：1．

94（2）解法1. 其求解过程参考调研3第（2）问. 若一切线垂直x轴，则另一切线垂直于y轴，则这样的点P共4个，它们的坐标分别为【解析】（1）c5，e(3,2)，(3,2)．

若两切线不垂直与坐标轴，设切线方程为yy0k(xx0)，即yk(xx0)y0，将之代x2y22入椭圆方程1中并整理得：(9k24)x218k(y0kx0)x9(ykx)4000

9422依题意0，即(18k)2(y0kx0)236(ykx)4(9k4)0

00即4(y0kx0)24(9k24)0

(x029)k22x0y0ky0240

y0241，x02y0213，

两切线相互垂直，k1k21，即2x09显然(3,2)，(3,2)这四点也满足以上方程

点P的轨迹方程为x2y213．

解法2.xyab13，其证明过程参考调研2第（2）问，略.

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