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●课 题 ： 因式分解

回顾与思考

银川十四中 孙卫平

●教学目标

（一）教学知识点

1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式. 2.熟悉本章的知识结构图. （二）能力训练要求

通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力,在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力. （三）情感与价值观要求

通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识. ●教学重点

复习综合应用提公因式法,运用公式法分解因式. ●教学难点

利用分解因式进行计算及讨论. ●教学方法

引导学生自觉进行归纳总结. ●教具准备

投影片三张

第一张

第二张

第三张●教学过程

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

［师］前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式,运用公式法分解因式的方法,并做了一些练习.今天,我们来综合总结一下. Ⅱ.新课讲解

（一）讨论推导本章知识结构图

［师］请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些? ［生］（1）有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念. （2）分解因式与整式乘法的关系. 1

（3）分解因式的方法. ［师］很好.请大家互相讨论,能否把本章的知识结构图绘出来呢?（若学生有困难,教师可给予帮助）

［生］

（二）重点知识讲解

［师］下面请大家把重点知识回顾一下. 1.举例说明什么是分解因式. ［生］如15x3y2+5x2y－20x2y3=5x2y（3xy+1－4y2）

把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解成为因式5x2y与3xy+1－4y2的乘积的形式,就是把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解因式. ［师］学习因式分解的概念应注意以下几点: （1）因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等. （2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止. 2.分解因式与整式乘法有什么关系? ［生］分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形. 如:ma+mb+mc=m（a+b+c）

从左到右是因式分解,从右到左是整式乘法. 3.分解因式常用的方法有哪些? ［生］提公因式法和运用公式法.可以分别用式子表示为: ma+mb+mc=m（a+b+c）

a2－b2=（a+b）（a－b）

a2±2ab+b2=（a±b）2

4.例题讲解

投影片

［例1］下列各式的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?说明理由. （1）x2+3x+4=（x+2）（x+1）+2 （2）6x2y3=3xy·2xy2

（3）（3x－2）（2x+1）=6x2－x－2 （4）4ab+2ac=2a（2b+c）

［师］分析：解答本题的依据是因式分解的定义，即把一个多2

项式化成几个整式的积的形式是因式分解，否则不是. ［生］解:（1）不是因式分解,因为右边的运算中还有加法. （2）不是因式分解,因为6x2y3不是多项式而是单项式,其本身就是积的形式,所以不需要再因式分解. （3）不是因式分解,而是整式乘法. （4）是因式分解. 投影片

［例2］将下列各式分解因式. （1）8a4b3－4a3b4+2a2b5; （2）－9ab+18a2b2－27a3b3; （3）－x2; （4）9（x+y）2－4（x－y）2; （5）x4－25x2y2; （6）4x2－20xy+25y2; （7）（a+b）2+10c（a+b）+25c2. 解:（1）8a4b3－4a3b4+2a2b5

=2a2b3（4a2－2ab+b2）; （2）－9ab+18a2b2－27a3b3

=－（9ab－18a2b2+27a3b3）

=－9ab（1－2ab+3a2b2）; （3）－x2=（）2－（1x）2

31419141912=（+ 1x）（－1x）; 331212（4）9（x+y）2－4（x－y）2

=［3（x+y）］2－［2（x－y）］2

=［3（x+y）+2（x－y）］［3（x+y）－2（x－y）］

=（3x+3y+2x－2y）（3x+3y－2x+2y）

=（5x+y）（x+5y）; （5）x4－25x2y2=x2（x2－25y2）

=x2（x+5y）（x－5y）; （6）4x2－20xy+25y2

=（2x）2－2·2x·5y+（5y）2

=（2x－5y）2; （7）（a+b）2+10c（a+b）+25c2

=（a+b）2+2·（a+b）·5c+（5c）2

=［（a+b）+5c］2=（a+b+5c）2

投影片

3

［例3］把下列各式分解因式: （1）x7y3－x3y3; （2）16x4－72x2y2+81y4; 解:（1）x7y3－x3y3

=x3y3（x4－1）

=x3y3（x2+1）（x2－1）

=x3y3（x2+1）（x+1）（x－1）

（2）16x4－72x2y2+81y4

=（4x2）2－2·4x2·9y2+（9y2）2

=（4x2－9y2）2

=［（2x+3y）（2x－3y）］2

=（2x+3y）2（2x－3y）2. ［师］从上面的例题中,大家能否总结一下分解因式的步骤呢? ［生］可以. 分解因式的一般步骤为: （1）若多项式各项有公因式,则先提取公因式. （2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式. （3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止. Ⅲ.课堂练习

1.把下列各式分解因式

（1）16a2－9b2; （2）（x2+4）2－（x+3）2; （3）－4a2－9b2+12ab; （4）（x+y）2+25－10（x+y）

解:（1）16a2－9b2=（4a）2－（3b）2

=（4a+3b）（4a－3b）; （2）（x2+4）2－（x+3）2

=［（x2+4）+（x+3）］［（x2+4）－（x+3）］

=（x2+4+x+3）（x2+4－x－3）

=（x2+x+7）（x2－x+1）; （3）－4a2－9b2+12ab

=－（4a2+9b2－12ab）

=－［（2a）2－2·2a·3b+（3b）2］

=－（2a－3b）2; （4）（x+y）2+25－10（x+y）

=（x+y）2－2·（x+y）·5+52

=（x+y－5）2

4

2.利用因式分解进行计算

（1）9x2+12xy+4y2,其中x=,y=－; （2）（ab2ab21）－（）,其中a=－,b=2. 2284312解:（1）9x2+12xy+4y2

=（3x）2+2·3x·2y+（2y）2

=（3x+2y）2

当x=,y=－时

原式=［3×+2×（－）］2

=（4－1）2

=32=9 ab2ab2）－（）

22abababab=（+ ）（－）

222243124312（2）（=ab

1811原式=－×2=－. 84当a=－,b=2时

Ⅳ.课时小结

1.师生共同回顾,总结因式分解的意义,因式分解的方法及一般步骤,其中要特别指出:必须使每一个因式都不能再进行因式分解. 2.利用因式分解简化某些计算. Ⅴ.课后作业

复习题 A组

Ⅵ.活动与探究

求满足4x2－9y2=31的正整数解. 分析:因为4x2－9y2可分解为（2x+3y）（2x－3y）（x、y为正整数），而31为质数. 所以有2x3y312x3y1或

2x3y12x3y31解：∵4x2－9y2=31 ∴（2x+3y）（2x－3y）=1×31 ∴2x3y312x3y1或 2x3y12x3y315

解得x8x8或

y5y5因所求x、y为正整数，所以只取x=8,y=5. ●板书设计

§2.6回顾与思考

一、1.讨论推导本章知识结构图

2.重点知识讲解

（1）举例说明什么是因式分解. （2）分解因式与整式乘法有什么关系? （3）分解因式常用的方法有哪些? （4）例题讲解

例1、例2、例3 （5）分解因式的一般步骤

二、课堂练习

三、课时小结

四、课后作业

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