反证法教学设计与反思

24.2.1点和圆的位置关系

（第2课时）反证法

一、教学目标

（一）知识与技能



1.掌握反证法的证明步骤。



2.能用反证法进行推理。



3.学会反面说理的方法，培养从正反两方面进行说理的能力。

（二）过程与方法



1.

经历“从否定命题的结论出发，经过逻辑推理，得出矛盾，从而否定假设，肯定结论。”

这一种逻辑推理的方法的学习，会用反证法证明数学命题。

（三）情感态度与价值观



体会反证法这种间接证明方法在论证唯一性命题、否定性命题和“至多”“至少”型命题的神奇价值。反证法作为一种思想方法，不仅在数学中有很多应用，在日常生活和其他学科中也有应用。

二、学习重点



反证法的证明步骤。

三、学习难点



能用反证法进行推理证明数学命题。

四、教学过程

（一）情境引入

张飞断案 故事说一个少妇抱着小孩回娘家，路过瓜田，遇上一个恶少调戏。少妇不从，被诬偷瓜，告到县衙。恶少暗中用钱收买为他看瓜的地保，嘱他摘三个大瓜到县衙作证。张飞升堂审讯，问恶

少，恶少说少妇偷他的瓜，有人证物证；问少妇，少妇说恶少调戏她。张飞

“想了一想”，佯断少妇偷瓜，命恶少先把三个大瓜

抱回去。恶少左抱右抱，怎么也抱不起来。张飞1

虎眉一

竖，拍案而起，痛斥恶少"你堂堂男子汉，三个瓜都抱不动，她是弱女子，

又抱小孩，怎能偷你三个大瓜？分明是你调戏。"经过审问，果然不错。

张飞是怎样证明少妇无罪的呢? 他运用了怎样的推理方法? 张飞断案

的推理方法

是

①

假设“少妇偷瓜”成立

，②少妇同时要抱小孩和三个瓜，③与

“恶少无法抱动三个瓜”产生矛盾，④假设

“少妇偷瓜”不成立，⑤所以“少妇没有偷瓜”

是正确的

（二）提出问题

1、证明：过同一直线上的三点不能作圆. 已知：点A、B、C三点在直线 L上. 求证：过A、B、C三点不能作圆.

2、知识回顾

过不在同一直线上的三点作圆.

（三）解决问题

证明： 假设过A、 B、 C三点可以作一个圆。

如图设⊙P过直线l上A、B、C三点，那么点P既在线段AB的垂直平分线a上，又在线段BC的垂直平分线b上，即点P为 a与b 的交点. ∵过点P的直线a ⊥ l与过点P的直线b ⊥ l，

与

“过一点P有且只有一条直线与已知直线l垂直”相矛盾。 ∴假设“⊙P过A、B、C三点”

不成立。 所以，过同一直线上的三点不能作圆。

原命题结论的反面不成立原命题结论的正面必成立 一假设、二推理、三矛盾

（四）获得新知

反证法的定义 第一步，假设命题的结论不成立。

第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果。

第三步，有矛盾的结果判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的。

这种证明命题的方法叫做反证法. 2

（五）深入理解

1、反证法的理论根据 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。

2.透彻理解反证法步骤

①假设命题结论不成立

否定原命题的结论要严密，防止否定不当或有遗漏

②推理论证，得出矛盾

推理过程要完整，否则不能说明命题的真伪性

③原命题结论成立

能找到产生矛盾的定理、定义或已知条件

3、常用的互为否定的表述方式 是——不是，存在——不存在，垂直——不垂直，等于——不等于，都是——不都是，大于——不大于，小于——不小于，至少有一个——一个也没有，至少有三个——至多有两个，

至少有n个——至多有(n-1)个，至多有一个——至少有两个，

三角形中最多有一个是直角——三角形中有两个或三个角是直角。

（六）能力提升

1、用反证法证明：两直线平行同位角相等。 

已知：如图直线AB‖CD,直线EF分别与直线AB,CD交于



点G,H.∠1和∠2是同位角. 

求证：∠1=∠2 证明： 假设∠1≠∠2成立 过G作直线MN, 使∠EGN＝∠2, 则MN∥CD, ∵直线AB∥CD。 即过直线CD外1点G有2条直线MN和AB与CD平行。 ∵这个结论与“

过已知直线CD外1点G有且只有1条直线与已知直线平行”相矛盾。∴假设∠1≠∠2不成立，即∠1＝∠2成立。

2、已知：如图，直线a,b被直线c所截，∠1 ≠

∠2 .求证：a∥b 试一试

证明：假设结论不成立，则a∥b ∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等) 这与已知的∠1≠∠2矛盾

∴假设不成立

∴a∥b

（七）学而习之

3

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







用反证法证明下列命题： 1.垂直于同一条直线的两条直线平行

2.两条直线相交，有且只有一个交点。

3.如果两条直线都平行与第三条直线，那么着两条直线也互相平行。 4.如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一定是锐角. 5.求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行

直线中的一条相交,那么和另一条也相交. （八）课堂小结

反证法作为一种思想方法，不仅在数学中有很多应用，在日常生活和其他学科中也有应用。数学史上有比较经典的利用反证法证明的问题，如证明

是无理数，证明素数有无限多个等。反证法是间接证明的一种基本方法，当我们需要证明一个判断为真时，先假设这个判断为假，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原判断应为真，这样的证明方法叫做反证法。反证法是演绎推理的一种，依据的是排中律，就是说两个互相矛盾的判断不可能同假，其中必有一真。

反证法的步骤：

（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立。

（2）从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾。

（3）由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确。

反证法在简易逻辑中适用题型：

（1）唯一性命题。

（2）否定性题。

（3）“至多”，“至少”型命题。

五、课后反思

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