平行四边形的判定的综合练习教案和学案内容

第六章

平行四边形

回顾与思考

类型之一

平行四边形的性质和判定

1．如图6－X－1，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论正确的是(

) A．S▱ABCD＝4S△AOB

B．AC＝BD

C．AC⊥BD

D．▱ABCD是轴对称图形

图6－X－1

图6－X－2 2．如图6－X－2所示，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是(

) A．AD＝BC

B．CD＝BF

C．∠A＝∠C

D．∠F＝∠CDE

3．如图6－X－3，平行四边形ABCD的周长为20 cm，对角线相交于点O，且EO⊥BD于点O，交AD于点E，则△ABE的周长为________cm.

图6－X－3 4．如图6－X－4所示，E，F是▱ABCD对角线AC上的两点，BE∥DF，判断AF与CE的数量关系，并说明理由．

图6－X－4

1

5．如图6－X－5，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD所在的直线上，且ED＝FB，连接AE，EC，CF，AF. 求证：(1)AE＝CF；

(2)四边形AECF是平行四边形．

图6－X－5

类型之二

三角形的中位线

6．如图6－X－6，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A，B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12 m，由此他就知道了A，B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是(

) A．AB＝24 m B．MN∥AB

C．S△ABC＝2S△CMN

D．△ABC的周长是△CMN周长的2倍

图6－X－6

图6－X－7 7．如图6－X－7，已知△ABC中，动点P在BC边上由点B向点C运动，若动点P运动的速度为2 cm/s，则线段AP的中点Q运动的速度为(

) A．1 cm/s

B．2 cm/s C．3 cm/s

D．4 cm/s 8．D，E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB，AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB，OC，G，F分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，G，F，E.如图6－X－8，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形．

图6－X－8

2

类型之三

多边形的内角和与外角和

9．一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是(

) A．正六边形

B．正八边形

C．正十边形

D．正十二边形

10．如图6－X－9，在四边形ABCD中，∠A＋∠D＝α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P＝(

) 11A．90°－α

B．90°＋α

22αC.

D．360°－α

2图6－X－9

图6－X－10 11．如图6－X－10，已知长方形ABCD，一条直线将该长方形ABCD分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M＋N不可能是(

) A．360°

B．540°

C．720°

D．630°

12．(1)如图6－X－11①②，试探究其中∠1，∠2与∠3，∠4之间的数量关系；

(2)用你发现的结论解决下列问题：

如图③，AE，DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD，∠MDA的平分线，∠B＋∠C＝240°，求∠E的度数．

图6－X－11

类型之四

数学活动

13．如图6－X－12①，在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8.以OB为边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于点E.

3

(1)求证：四边形ABCE是平行四边形；

(2)如图②，将图①中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．

图6－X－12

4

详解详析

1．A

[解析] A项，∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

∴AO＝CO，DO＝BO，

∴S△AOD＝S△DOC＝S△BOC＝S△AOB，

∴S▱ABCD＝4S△AOB，故此选项正确；

B项，无法得到AC＝BD，故此选项错误；

C项，无法得到AC⊥BD，故此选项错误；

D项，▱ABCD不是轴对称图形，故此选项错误．

故选A. 2．D

[解析] 由于E是BC边的中点，若∠F＝∠CDE，则可得△CDE≌△BFE，CD∥BF，得CD＝BF＝AB，因此选D. 3．10

[解析] ∵AC，BD相交于点O，∴O为BD的中点．∵OE⊥BD，∴BE＝DE，∴1△ABE的周长＝AB＋AE＋BE＝AB＋AD＝×20＝10(cm)．

24．解：AF＝CE.理由如下：因为在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，

所以∠CAD＝∠ACB. 又BE∥DF，所以∠DFA＝∠BEC，

所以△DFA≌△BEC，所以AF＝CE. 5．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC＝AB，DC∥AB，∴∠ABD＝∠CDB，

∴∠ABE＝∠CDF. ∵ED＝FB，∴BE＝DF. 在△ABE和△CDF中，AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，

∴△ABE≌△CDF(SAS)，

∴AE＝CF. (2)连接AC，设AC与BD交于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD. 又由(1)知BE＝DF，∴OE＝OF，

∴四边形AECF是平行四边形．

6．C 7．A

[解析] 过点Q作QD∥BP交AB于点D，

∵AQ＝PQ，∴AD＝BD，

1∴DQ是△ABP的中位线，∴DQ＝BP. 2∵动点P运动的速度为2 cm/s，点P与点Q运动的时间相同，

∴线段AP的中点Q运动的速度为1 cm/s. 故选A. 8．证明：∵D，E分别是AB，AC边的中点，

1∴DE∥BC，且DE＝BC，

21同理，GF∥BC，且GF＝BC，

2∴DE∥GF且DE＝GF，

∴四边形DGFE是平行四边形．

9．C

[解析] ∵多边形的外角和都等于360°，而360°÷36°＝10，∴这个正多边形是正十边形．故选C. 10．C

[解析] ∵∠A＋∠D＝α，

∴∠ABC＋∠BCD＝360°－α.

5

∵∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，

11α∴∠PBC＋∠BCP＝(∠ABC＋∠BCD)＝(360°－α)＝180°－，∴∠P＝180°－222α(∠PBC＋∠BCP)＝，故选C. 211．D

[解析] 如图，一条直线将该长方形ABCD分割成两个多边形的情况有以下三种．

①当直线不经过任何一个原来长方形的顶点时，

此时长方形被分割为一个五边形和一个三角形或两个四边形，

∴M＋N＝540°＋180°＝720°或M＋N＝360°＋360°＝720°；

②当直线经过原来长方形的一个顶点时，

此时长方形被分割为一个四边形和一个三角形，

∴M＋N＝360°＋180°＝540°；

③当直线经过原来长方形的两个顶点时，

此时长方形被分割为两个三角形，

∴M＋N＝180°＋180°＝360°. 故选D.

12．解：(1)∵∠3，∠4，∠5，∠6是四边形的四个内角，

∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°，

∴∠3＋∠4＝360°－(∠5＋∠6)．

∵∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°，

∴∠1＋∠2＝360°－(∠5＋∠6)，

∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4. (2)∵∠B＋∠C＝240°，

∴∠NAD＋∠MDA＝240°. ∵AE，DE分别是∠NAD，∠MDA的平分线，

∴∠DAE＝12∠NAD，∠ADE＝12∠MDA，

∴∠DAE＋∠ADE＝12(∠NAD＋∠MDA)＝12×240°＝120°，

∴∠E＝180°－(∠DAE＋∠ADE)＝180°－120°＝60°. 13．解：(1)证明：在Rt△OAB中，D为OB的中点，∠AOB＝30°∴DO＝DA＝DB，∴∠DAO＝∠DOA＝30°. ∵△OBC为等边三角形，

∴∠BOC＝∠BCO＝60°，∴∠EOA＝90°，

∴∠AEO＝60°＝∠BCO，

∴BC∥AE. ∵∠BAO＝∠COA＝90°，∴OC∥AB，

6 ，

∴四边形ABCE是平行四边形．

(2)设OG＝x，由折叠可知AG＝GC＝8－x. 1在Rt△ABO中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8，∴AB＝OB＝4，

2OA＝OB2－AB2＝82－42＝4 3. 在Rt△OAG中，OG2＋OA2＝AG2，

即x2＋(4 3)2＝(8－x)2，解得x＝1. ∴OG＝1.

7