习题2.4优质课教案设计

习题2.4 抛物线的标准方程及简单几何性质习题课

教学目标：

1、熟练掌握抛物线的标准方程及其简单性质

2、归纳总结直线与抛物线（直线与圆锥曲线）相交问题的一般解法

3、进一步体会数形结合的思想

教学重点：抛物线的几何性质及其运用，引导学生完成例题求解过程.

教学难点：抛物线几何性质的运用

教 具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论

已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x（或y），则x轴（或y轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p

一、知识回顾

1、抛物线定义：（如图）平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点轨迹叫做抛物线.点F叫抛物线的焦点，直线l叫抛物线的准线. 标准方程及图形如下表：

图形

标准方程

焦点坐标

准线方程

y22px(p0)

p,0

2xp

2y22px(p0)

p,0

2xp

2x22py(p0)

p0,

2yp

21

x22py(p0)

p0,

2yp

22、抛物线的标准方程和简单几何性质(焦点弦与焦半径) 方程

y22px(p0)

y22px(p0)

x22py(p0)

x22py(p0)

焦半径

px0

2px0

2py0

2py0

2焦点弦

px1x2

p(x1x2)

py1y2

p(y1y2)

二、例题讲解

例1、斜率为1 的直线l经过抛物线y4x的焦点F，与抛物线交于A、B两点，求线段AB的长.

【设计意图】基础题，意在让学生掌握直线与抛物线相交问题基本的解法

例2、抛物线y4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方部分交于点A，AK⊥l，垂足为K，求△AKF的面积. 解析：为例1的变式s22144sin60°=43

22例3、已知F为抛物线C：y4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1,l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E，求|AB||DE|的最小值 解析：本题考查抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式。

2

如图l1l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，l1:yk1(x1)

y4x22k12422联立得k1x(2k14)xk10，x1x2，

2k1yk1(x1)2k224同理x3x4，由抛物线的定义知|AB||DE|x1x2x3x42p

2k22k1242k2244416=482816当且仅当k1k21（或1）222222k1k2k1k2k1k2时等号成立. 你还能如何求解？

利用例1的解法4 2C:y4x，过其焦点F作两条相互垂直且不平行于x轴的直线，分别例4、已知抛物线交抛物线C于点P1，P2和点P3,P4.线段PP12，

P3P4的中点分别记为M1,M2

求△FM1M2面积的最小值

解析：本例题为例3变式

当k1时，面积取到最小值为4

3

三、【随堂练习】

1、（习题2.4第5题）如图，M是抛物线y24x上一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的∠xFM=60°，求|FM|

解：因为∠xFM60°，所以线段FM所在在直线斜率为ktan60°=3，因此，直线FM的方程为y3(x1)2与抛物线联立得3x10x30，解得x11,x23，3所以y123,y223，由图知M点的坐标为3(3,23)，因此|FM|=4

2、如图，直线yx2与抛物线y22x相交于A、B两点，求证：OA⊥OB

四、课堂总结：

1、直线与圆锥曲线有两个交点之“通法”

第一步：设交点A(x1,y1)B(x2,y2)

第二步：设直线：分斜率存在与不存在。斜率不存在时，方程为xx0；斜率存在时，有三种常用设法：①yy0k(xx0)；②ykxb；③xmyb

第三步：联立直线和圆锥曲线的方程组，消去x或y

第四步：判别式

第五步：韦达定理

4

第六步：“坐标化”将几何关系转化为代数运算.（弦长，面积，垂直，平行，中点，交点）

2、抛物线的定义在解题中的应用

（1）“化斜为直”凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般用定义将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离处理；

（2）焦半径、焦点弦的运用。

五、课后作业

1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．

（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．

（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．

（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．

2．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2，B2，则∠A2FB2等于 . 3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．

x2y21的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆4．以椭圆5在准线所得的弦长．

5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？

习题答案：

2221．（1）y＝±32x

（2）x＝8y

（3）x＝－8y

2．90°

23．x＝±16 y

4．45

5．205米

5