1.4.2 存在量词教案和学案内容

第3节

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

最新考纲

1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

知

识

梳

理

1.简单的逻辑联结词

(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词. (2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断

p 真

真

假

假

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示. (2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示. 3.全称命题和特称命题

名称

形式

结构

简记

否定

全称命题

对M中的任意一个x，有p(x)成立

∀x∈M，p(x)

∃x0∈M，綈p(x0)

特称命题

q 真

假

真

假

p∧q 真

假

假

假

p∨q 真

真

真

假

綈p

假

假

真

真

存在M中的一个x0，使p(x0)成立

∃x0∈M，p(x0) ∀x∈M，綈p(x) [常用结论与微点提醒] 1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p

与綈p→真假相反. 2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.

诊

断

自

测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)命题“5>6或5>2”是假命题.(

) (2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.(

) (3)“长方形的对角线相等”是特称命题.(

) (4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反.(

) 解析

(1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.

(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题.

(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题. 答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

2.(选修2－1P27A组T3改编)命题p：∃x0∈R，x0>1的否定是(

) A.綈p：∀x∈R，x≤1

C.綈p：∀x∈R，x<1

B.綈p：∃x∈R，x≤1 D.綈p：∃x∈R，x<1 解析

特称命题的否定为全称命题.∴綈p：∀x∈R，x≤1. 答案

A 3.(2018·贵阳调研)下列命题中的假命题是(

) A.∃x0∈R，lg x0＝1

C.∀x∈R，x3＞0

B.∃x0∈R，sin x0＝0 D.∀x∈R，2x＞0 解析

当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题；当x＜0时，x3＜0，则C为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R，2x＞0，则D为真命题. 答案

C 4.(2017·山东卷)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2

) A.p∧q

B.p∧綈q

C.綈p∧q

D.綈p∧綈q

解析

∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x2－x＋1>0恒成立，

∴p是真命题，綈p为假命题.

∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2，

∴q为假命题，綈q为真命题.

根据真值表可知p∧綈q为真命题，p∧q，綈p∧q，綈p∧綈q为假命题. 答案

B π5.若“∀x∈0，，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________. 4ππ解析

∵函数y＝tan x在0，上是增函数，∴ymax＝tan 4＝1，依题意，4m≥ymax，即m≥1.∴m的最小值为1. 答案

1

考点一

含有逻辑联结词的命题的真假判断

【例1】

(1)设a，b，c是非零向量.已知命题p: 若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是(

) A.p∨q

B.p∧q

D.p∧(綈q) C.(綈p)∧(綈q)

(2)(2018·深圳联考)已知命题p：不等式ax2＋ax＋1>0的解集为R，则实数a∈(0，4)，命题q：“x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是(

) A.p∧q

B.p∧(綈q) D.(綈p)∧q

C.(綈p)∧(綈q)

解析

(1)取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题.

又a，b，c是非零向量，

由a∥b知a＝xb，由b∥c知b＝yc，

∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题.

综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题.

又∵綈p为真命题，綈q为假命题.

∴(綈p)∧(綈q)，p∧(綈q)都是假命题.

(2)命题p：当a＝0时，有1>0恒成立；

a>0，当a≠0时

，得解之得0

2Δ＝a－4a<0，∴实数a∈[0，4)，因此p假，綈p是真命题.

命题q：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.

因此“x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分条件，q为真命题.故(綈p)∧q为真命题.

答案

(1)A

(2)D 规律方法

1.“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；

(2)判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假.

2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”.

【训练1】

(2018·郑州调研)命题p：函数y＝log2(x－2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝A.p∧q

1的值域为(0，1).下列命题是真命题的为(

) 3＋1xB.p∨q

C.p∧(綈q)

D.綈q

解析

由于y＝log2(x－2)在(2，＋∞)上是增函数，

∴命题p是假命题.

1由3x>0，得3x＋1>1，所以0

3＋11所以函数y＝x的值域为(0，1)，故命题q为真命题.

3＋1

所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题. 答案

B 考点二

含有一个量词命题的否定及真假判定

【例2】

(1)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(

) A.∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞n

B.∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n

C.∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0

D.∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0

1(2)(2018·昆明一中质检)已知命题p：∀x∈R，x＋x≥2；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0＞x30，则下列命题中为真命题的是(

) A.(綈p)∧q

B.p∧(綈q) D.p∧q

C.(綈p)∧(綈q)

解析

(1)全称命题的否定为特称命题，

∴命题的否定是：∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0.

13(2)对于p：当x＝－1时，x＋x＝－2，∴p为假命题.取x0∈(0，1)，此时x20＞x0，∴q为真命题.

从而綈p为真命题，(綈p)∧q为真命题. 答案

(1)D

(2)A 规律方法

1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论. 2.判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p(x0)成立. π【训练2】

命题p：存在x∈0，，使sin x＋cos x>2；命题q：“∃x0∈(0，2＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，则四个命题：

(綈p)∨(綈q)，p∧q，(綈p)∧q，p∨(綈q)中，正确命题的个数为(

)

A.1

B.2

C.3

D.4 π解析

因为sin x＋cos x＝2sinx＋≤2，所以命题p是假命题；又特称命题4的否定是全称命题，因此命题q为真命题.则(綈p)∨(綈q)为真命题，p∧q为假命题，(綈p)∧q为真命题，p∨(綈q)为假命题.∴四个命题中正确的有2个命题. 答案

B 考点三

由命题的真假求参数的取值范围

2【例3】

(1)已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“∃x0∈R，x0＋4x0＋a＝0”.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是(

) A.(4，＋∞)

2B.[1，4]

C.[e，4]

D.(－∞，－1) 1x(2)已知f(x)＝ln(x＋1)，g(x)＝2－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________. 解析

(1)由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知a≥e，由q为真，知x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.综上可知e≤a≤4.

1(2)当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min411≥g(x)min，得0≥4－m，所以m≥4. 1答案

(1)C

(2)4，＋∞

规律方法

1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：

(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；

(2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.

2.全称命题可转化为恒成立问题.

含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.

【训练3】

本例(2)中，若将“∃x2∈[1，2]”改为“∀x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是____________. 11解析

当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝2－m，由f(x)min≥g(x)max，得0≥2－m，

1∴m≥2.

1答案

2，＋∞



基础巩固题组

(建议用时：25分钟) 一、选择题

1x11.命题p：“∀x∈N，2≤2”的否定为(

) *1x1A.∀x∈N，2>2

*1x1B.∀x∉N，2>2

*1x1C.∃x∉N，2>2

*1x1D.∃x∈N，2>2

*1x11x1解析

命题p的否定是把“∀”改成“∃”，再把“2≤2”改为“2>2”.

答案

D 2.(2015·全国Ⅰ卷)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为(

) A.∀n∈N，n2>2n

C.∀n∈N，n2≤2n

B.∃n∈N，n2≤2n

D.∃n∈N，n2＝2n

解析

命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”，∴綈p：∀n∈N，n2≤2n. 答案

C 3.(2016·江西师大附中模拟)若命题p：∀x∈R，log2x＞0，命题q：∃x0∈R，2x0＜0，则下列命题为真命题的是(

) A.p∨(綈q)

C.(綈p)∧q

B.p∧q

D.p∨q

解析

命题p和命题q都是假命题，则命题綈p和命题綈q都是真命题，故选A. 答案

A

4.第十三届全运会于2017年8月27日在天津市隆重开幕，在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为(

) A.(綈p)∨(綈q)

C.(綈p)∧(綈q)

B.p∨(綈q) D.p∨q

解析

命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为(綈p)∨(綈q).或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p∧q”的否定选A. 答案

A 5.(2018·成都调研)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根.则下列命题为真命题的是(

) A.p∧(綈q)

B.(綈p)∧q

D.p∧q

C.(綈p)∧(綈q)

解析

由题意知命题p是真命题，命题q是假命题，故綈p是假命题，綈q是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p∧(綈q)是真命题. 答案

A 6.命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是(

) A.(0，4]

B.[0，4] D.(－∞，0)∪(4，＋∞) C.(－∞，0]∪[4，＋∞)

解析

因为命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，

所以命题綈p：∃x0∈R，ax20＋ax0＋1<0，

a>0，则a<0或解得a<0或a>4. 2Δ＝a－4a>0，答案

D 7.以下四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，

x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2，其中真命题的个数为(

) A.0

B.1

C.2

D.4 解析

∵Δ＝(－3)2－4×2>0，

∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，

∴①为假命题；

当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题；

对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题；

④中，当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2；

则④为假命题. 答案

A 8.(2018·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)＝a2x－2a＋1.若命题“∀x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，则实数a的取值范围是(

) 1A.2，1

1C.2，＋∞



B.(1，＋∞) 1D.2，1∪(1，＋∞) 解析

∵函数f(x)＝a2x－2a＋1，

命题“∀x∈(0，1)，f(x)≠0”是假命题，

∴原命题的否定是：“∃x0∈(0，1)，使f(x0)＝0”是真命题，

∴f(1)f(0)<0，即(a2－2a＋1)(－2a＋1)<0，

1∴(a－1)2(2a－1)>0，解得a>2，且a≠1，

1∴实数a的取值范围是2，1∪(1，＋∞). 答案

D 二、填空题

9.(2018·河北“五个一”名校联考改编)命题“∃x0∈R，1

∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2 10.若命题“∃x0∈R，使得x20＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________. 解析

∵“∃x0∈R，使得x20＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，

∴Δ＝(a－1)2－4＞0，即(a－1)2＞4，

∴a－1＞2或a－1＜－2，∴a＞3或a＜－1.

答案

(－∞，－1)∪(3，＋∞) 11.(2018·石家庄调研)已知下列四个命题：

①“若x2－x＝0，则x＝0或x＝1”的逆否命题为“若x≠0且x≠1，则x2－x≠0”；

②“x<1”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件；

2③命题p：存在x0∈R，使得x0＋x0＋1<0，则綈p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0；

④若p∧q为假命题，则p，q均为假命题. 其中为真命题的是________(填序号). 解析

显然①③正确；

②中，x2－3x＋2>0⇔x>2或x<1.

∴“x<1”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，②正确；

④中，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个假命题，④错误. 答案

①②③

112.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：＞1，若“(綈q)∧p”为真，则x的3－x取值范围是________.

解析

因为“(綈q)∧p”为真，即q假p真，而q为真命题时，x－2＜0，即2x－3＜x＜3，所以q为假命题时，有x≥3或x≤2；p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，x＞1或x＜－3，解得x＞1或x＜－3，由得x≥3或1

x≥3或x≤2，所以x的取值范围是{x|x≥3或1

答案

(－∞，－3)∪(1，2]∪[3，＋∞) 能力提升题组

(建议用时：10分钟) 13.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(

) A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n

B.∀x∈R，∀n∈N*，使得n

C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n

D.∃x0∈R，∀n∈N*，使得n

解析

改变量词，否定结论.

∴綈p应为：∃x0∈R，∀n∈N*，使得n

D x3，x<0，14.(2018·江西红色七校联考)已知函数f(x)＝给出下列两个命题：2m－x，x≥0，1命题p：∃m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0有解，命题q：若m＝9，则f(f(－1))＝0，那么，下列命题为真命题的是(

) A.p∧q

C.p∧(綈q)

B.(綈p)∧q

D.(綈p)∧(綈q) 解析

因为3x>0，当m<0时，m－x2<0，

所以命题p为假命题；

11当m＝9时，因为f(－1)＝3－1＝3，

1112所以f(f(－1))＝f

3＝－3＝0，

9所以命题q为真命题，

逐项检验可知，只有(綈p)∧q为真命题. 答案

B 15.(2018·安徽江南十校联考)已知命题p：∃x0∈R，(m＋1)(x20＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立.若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为________. 解析

由命题p：∃x0∈R，(m＋1)(x20＋1)≤0可得m≤－1；由命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，即Δ＝m2－4<0，可得－2

因为p∧q为假命题，所以m≤－2或m>－1. 答案

(－∞，－2]∪(－1，＋∞) 4116.(2018·郑州质量预测)已知函数f(x)＝x＋x，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈2，1，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________. 解析

依题意知f(x)max≤g(x)max.

41∵f(x)＝x＋x在2，1上是减函数，

117∴f(x)max＝f

2＝2.

又g(x)＝2x＋a在[2，3]上是增函数，

∴g(x)max＝8＋a，

171因此2≤8＋a，则a≥2. 答案

12，＋∞