小结教学设计实例

空间向量在立体几何中的应用

藁城一中 董晨涛

考情分析

1．通过线线、线面、面面关系考查空间向量的坐标运算．

2．能用向量方法证明直线和平面位置关系的一些定理．

3．利用空间向量求空间距离．

学习目标

1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念; 2.

掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题．

学习过程

一、课前准备

（预习教材P102~ P104，找出疑惑之处）

复习1：共线与垂直的坐标表示

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，

则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，

a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．

复习2：立体几何中的向量方法

(1)直线的方向向量与平面的法向量的确定

→①直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB为直线l的方向向→量，与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．

②平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，na＝0，n·为平面α的法向量，则求法向量的方程组为

n·b＝0.

(2)用向量证明空间中的平行关系

①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2. ②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2. ③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u. ④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2. (3)用向量证明空间中的垂直关系

①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0. ②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u. ③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.[来源:学科网]

题型一

利用空间向量证明平行问题

1．

(2013·南通模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，AA1＝2，E为棱CC1的中点．

(1)求证：AC1∥平面B1DE；

(2)求三棱锥A-BDE的体积．

【变式2】

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：

(1)AE⊥CD；

(2)PD⊥平面ABE.

[来源学+科[来源学&科&网Z&X&X&K]

巩固提高

1.如图，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos→，AE→〉＝3，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直〈DP3角坐标系，则点E的坐标为________．

2.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值________．

3如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝2，∠CDA＝45°. (1)求证：平面PAB⊥平面PAD；

(2)设AB＝AP. (ⅰ)若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；

(ⅱ)在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等？说明理由．