课题二 测建筑物的高度第二课时教学设计

国培计划（2018）宁夏培育性示范校教师专业能力提升培训项目 2019.5 《正弦定理》

单元教学设计

执教者：李

瑾(上海市南洋中学) 时间：2019年5月7日（周二下午）

执教班级：高一 地点：银川一中

一

单元教材教法分析

(一)

整体分析

主题名称

单元名称

所需课时

单元目标

教学重点

教学难点

学情分析

课程资源

必修课程_主题三_几何与代数_平面向量及其应用_向量应用与解三角形

(课标2017)

正弦定理

1课时

1.根据学生已有数学知识,结合实际掌握情况引领学生完成正弦定理的公式推导。

2.通过简单的数学建模认识到解三角形在”天文观测、航海和地理测量”等实际问题的应用。

3.

在公式推导,实践应用的学习过程中深刻理解任意三角形的边角数量关系以及解决问题的严谨性和全面性。

4.学会通过已掌握的正弦定理完成对于三角恒等式的探索。

公式证明,数学建模

论证过程中的严谨表达,”两边一对角”环节的难点突破

高一学生(略) 人教版

沪教版(2007年第一版)

(二)教材版本分析

情景与问题

推导证明

第一课时

第二课时

第三课时

第四课时

二

单元课堂设计

（一）目标分解过程：

目标1:人教版

特殊三角形的探索

解直角三角形

正弦定理推导以及运用

余弦定理

应用举例

实习作业

沪教版(2007年第一版) 实际测量问题

建立直角坐标系,解析证明

正弦定理与余弦定理推导以及简单运用

解斜三角形

三角恒等证明

数学建模

abc==

推导

sinAsinBsinC核心素养体现

情境与问题

教学设计

初中时，我们已学习了锐角

三角比的意义，锐角A、B的正弦是如何定义的呢？在A核心素养指向

直观想象

设计意图

方法一,侧重平面几何以及解直角三角形. 方法二:侧重解析证明.

RtABC中，C90，锐角B的正弦：bsinB

ccbBaC直观想象

逻辑推理

思维与表达

拓展直角三角形，完成相应证明

1

国培计划（2018）宁夏培育性示范校教师专业能力提升培训项目 2019.5 abc==

sinAsinBsinC数学抽象

情境与问题

前阶段,我们已学习了任意角三角比的定义，当进一步完善对于正弦的认识

角的始边和终边置于y直角坐标系的时候,CsinA是如何表达的呢?

bAaBx

思维与表达

在任意△ABC当中S△ABC=

111absinCacsinBbcsinA(建立坐标系) 2221abc

两边同除以abc即得：==

2sinAsinBsinC

知识与技能

结论:在三角形中,各边与它所对角的正弦的比

相等,此结论叫做正弦定理(law of

sines)

目标2：测量应用

核心素养指向

核心素养体现

数学建模

教学设计

设计意图

情境与问题

例1:

如图，设A，B两点在河的两岸，一测量先直观,后抽象,不仅为例者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC2铺垫,并且指明解三角的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，形的实践用途;同时开始提炼正弦定理运用的三则A，B两点的距离为

角形特征. 答案:502

数学建模

数学抽象

思维与表达

例2:如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间的B点处，丙船在最后面的C点处，且BC:AB3:1．一架无人机在空中的P点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得APB300，BPC900．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比. 能在具体情景中,自主抽象出三角基本图形,跨越数学建模从”提出问题”到”

建立模型”.

2

国培计划（2018）宁夏培育性示范校教师专业能力提升培训项目 2019.5 (答案:

无人机到甲、丙两船的距离之比为2.)

3

ABC的三个角A、CB、知识与技能

一般地，和它们所对的边a、b、c叫做ABC的元素.已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形(solving triangles).

目标3.1：解三角形

核心素养指向

核心素养体现

问题与情境

教学设计

上述例1，例2在解三角形中利用了两角一对边完成，在正弦定理的等式中，还有两边一对角的情况。

设计意图

提出解三角形的两解问题进行进一步探讨。

数学运算

逻辑推理

数学运算

逻辑推理

知识与技能

思维与表达

交流与反思

完成解三角形的规三角形。

（答案：B30,C105,c326）范叙述；

进一步完例4：在ABC中，A60,a2cm,b1cm解三角成对于两解的预判，B2539',C9421',c2.3cm形。（答案）

对于在非orB25.66,C94.34,c2.30cm特殊角情况下。

例3：在ABC中，A45,b23,a26，解问能否利用例4的数据预判A60,b1cm的情况下，什么时候是两解？

3 直观想象

数据分析

情境与问题

国培计划（2018）宁夏培育性示范校教师专业能力提升培训项目 2019.5 直观想象

数据分析

交流与反思

正弦定理可解决两类问题：

1．两角和任意一边，求其它两边和一角；

2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B

时的各种情况:

⑴若A为锐角时: 无解absinA  一解(直角)absinA

bsinAab 二解(一锐,

一钝)ab 一解(锐角)已知边a,b和ACaAHa

⑵若A为直角或钝角时:ab 无解ab 一解(锐角)

目标3.2：关于abc===2R的结论推导

sinAsinBsinC教学设计

关于正弦名称，即“勾股弦”的来历引申出直角三角形，任意三角形内接与圆以后得到与直径之间的定值关系。

设计意图

与上阶段的自然衔接需要有一个主题，因此本节课紧紧围绕“正弦”两个字展开，把三个证明方式联系一起

a核心素养指向

核心素养体现

直观想象

问题与情境

知识与技能

如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ

∴BaaCD2R

sinAsinDA'cbCbc同理

=2R，＝2R sinBsinCA

思维与表达

问：钝角三角形的图形呈现

4

国培计划（2018）宁夏培育性示范校教师专业能力提升培训项目 2019.5

交流与反思

联系证明方法2，3：能否探索出三角形面积公式可以R与a,b,c的

结论或者R与A,B,C的结论。

进一步熟悉c＝sinC2R 公式

目标4：关于三角恒等式的证明

核心素养指向

核心素养体现

数学抽象

问题与情境

教学设计

由正弦定理可知：在ABC中，a：b：c=sinA:sinB:sinC，这是正弦定理的另一种表达形式.SABC设计意图

点明三角形三边与角的正弦另一种比例呈现方式；进一步巩固推导2的三角形公式。

abc;S4RABC2R2sinAsinBsinC

逻辑推理

知识与技能

在ABC中，求证：

进一步加深三角形a2b2b2c2c2a20

三边之比cosAcosBcosBcosCcosCcosA与正弦值的对应关联

（三）课堂小结：

1、正弦定理的推导及含义，特殊与一般,具体与抽象的辨证关系. 2、正弦定理的两个应用：（1）已知三角形中两角及一边，求其他元素；（2）已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素.这时可引导学生加以叙述. （四）作业（略）

（五）补充向量法证明：

证明四：（向量法）

过A作单位向量j垂直于AC

由

AC+CB=AB

两边同乘以单位向量j

得

j•(AC+CB)=j•AB

则j•AC+j•CB=j•AB∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=|j|•|AB|cos(90A) ∴asinCcsinA

∴bc=

sinBsinCaccba=，同理，若过C作j垂直于CB得：

=

∴=sinAsinCsinCsinBsinA

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