3.1.3 空间向量的数量积运算优质课教案推荐

3．1.3

空间向量的数量积运算

[学习目标]

1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．

知识点一

空间向量的夹角

定义

记法

范围

知识点二

空间向量的数量积

(1)定义

已知两个非零向量a，b，则则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. (2)数量积的运算律

数乘向量与向量数量积的结合律

交换律

分配律

(3)数量积的性质

①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 ②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；

两个

向量数量积的性质

若反向，则a·b＝－|a|·|b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a

a·b③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝

|a||b|④|a·b|≤|a|·|b|

(λa)·b＝λ(a·b) a·b＝b·a

a·(b＋c)＝a·b＋a·c

→→已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角

〈a，b〉

π〈a，b〉∈[0，π]．当〈a，b〉＝时，a_⊥_b

2

题型一

空间向量的数量积运算

例1

如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：

→→→→→→→→(1)EF·BA；(2)EF·BD；(3)EF·DC；(4)BF·CE. →→1→→解

(1)EF·BA＝BD·BA

21→→→→＝|BD|·|BA|·cos〈BD，BA〉

211＝×1×1×cos 60°＝，

24→→1所以EF·BA＝；

411→→1→→→→(2)EF·BD＝|BD|·|BD|·cos〈BD，BD〉＝×1×1×cos 0°＝，

222→→1所以EF·BD＝；

211→→1→→1→→→→(3)EF·DC＝BD·DC＝|BD|·|DC|·cos〈BD，DC〉＝×1×1×cos 120°＝－，

22241→→所以EF·DC＝－；

4→→1→→1→→(4)BF·CE＝(BD＋BA)·(CB＋CA) 221→→→→→→→→＝[BD·(－BC)＋BA·(－BC)＋BD·CA＋BA·CA] 41→→→→→→→→→＝[－BD·BC－BA·BC＋(CD－CB)·CA＋AB·AC] 41111111＝(－－＋－＋)＝－. 4222228反思与感悟

由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．

跟踪训练1

已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．

答案

－13 解析

∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，

∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，

32＋12＋42∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13. 2题型二

利用数量积求夹角

例2

如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．

→→→解

因为BC＝AC－AB，

→→→→→→所以OA·BC＝OA·AC－OA·AB

→→→→→→→→＝|OA||AC|cos〈OA，AC〉－|OA||AB|cos〈OA，AB〉

＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°

＝－162＋24. →→OA·BC24－1623－22→→所以cos〈OA，BC〉＝＝＝. 5→→8×5|OA||BC|3－22即OA与BC所成角的余弦值为. 5反思与感悟

利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；(2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；(3)利用向量的数量积求角的大小；(4)证明两向量垂直可转化为数量积为零．

跟踪训练2

如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD.

→→→→→→→→1→→证明

MN·AB＝(MB＋BC＋CN)·AB＝(MB＋BC＋CD)·AB

2

→→1→1→→＝(MB＋BC＋AD－AC)·AB

22111＝a2＋a2cos 120°＋a2cos 60°－a2cos 60°＝0，

222→→所以MN⊥AB，即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD. 题型三

利用数量积求距离

例3

正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，求EF的长．

→→→解

如图所示，设AB＝a，AC＝b，AA1＝c.由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，

且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°. →→→→因为EF＝EA＋AA1＋A1F

1→→1→＝－AB＋AA1＋AC

2211＝－a＋b＋c，

221→→1所以EF2＝|EF|2＝EF2＝a2＋b2＋c2

441111－a·b＋b·c－a·c＋22

222111－×2×2cos 60°＝×22＋×22＋22＋2×

444＝1＋1＋4－1＝5，

所以EF＝5. 反思与感悟

利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝a·a求解即可．

跟踪训练3

如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长．

→→解

∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴〈CA，BD〉＝120°. →→→→→→→→∵CD＝CA＋AB＋BD，且CA·AB＝0，BD·AB＝0，

→→→→→→→→→∴|CD|2＝CD·CD＝(CA＋AB＋BD)(CA＋AB＋BD) →→→→→＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2CA·BD

→→→→→→→＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2|CA||BD|cos〈CA，BD〉

1＝62＋42＋82＋2×6×8×(－)＝68，

2→∴|CD|＝217，故CD的长为217.

1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

A 解析

a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|⇔cos〈a，b〉＝1⇔〈a，b〉＝0，当a与b反向时，不能成立．

2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a－3b|等于(

) A.7

C.13

答案

A 解析

∵|a－3b|2＝(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2

＝1－6×cos 60°＋9＝7.∴|a－3b|＝7. 3．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是(

) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b

D．若a·b＝a·c，则b＝c

答案

B 解析

对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；

对于C，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；

对于D，a·b＝a·c可以移项整理得a·(b－c)＝0. 4．设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b等于(

) B.10 D．4 B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

A．1

B．2

C．3

D．5 答案

A 解析

|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，

|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，

将上面两式左、右两边分别相减，得4a·b＝4，

∴a·b＝1. 5．若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|等于(

) A．2

B.2

C．1

D.答案

B 2a＝0，a＝0，

①a＋b·a＋b·解析

由题意知即

2a＋b·b＝0，b＋b2＝0，

②2a·2

2

将①×2－②得，2a2－b2＝0，

∴b2＝|b|2＝2a2＝2|a|2＝2，

故|b|＝2.

求空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的模．

一、选择题

1．下列命题中，不正确的有(

) ①a·a＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b；③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；④a2b＝b2a. A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

答案

D 解析

①②③正确，④不正确．因为等式左边表示与b共线的向量，右边表示与a共线的向量，两者方向不一定相同．

2．下列命题中正确的是(

) A．(a·b)2＝a2·b2

B．|a·b|≤|a||b| C．(a·b)·c＝a·(b·c) D．若a⊥(b－c)，则a·b＝a·c＝0 答案

B

解析

对于A项，左边＝|a|2·|b|2cos2〈a，b〉，

右边＝|a|2·|b|2，

∴左边≤右边，故A错误．

对于C项，数量积不满足结合律，∴C错误．

对于D项，a·(b－c)＝0，∴a·b－a·c＝0，

∴a·b＝a·c，但a·b与a·c不一定等于零，故D错误．

对于B项，∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，－1≤cos〈a，b〉≤1，

∴|a·b|≤|a||b|，故B正确．

3．空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么(

) →→→→A.AE·BC

→→→→B.AE·BC＝AE·CD

→→→→C.AE·BC>AE·CD

→→→→D.AE·BC与AE·CD的大小不能比较

答案

C 1→→→→解析

取BD的中点F，连接EF，则EF綊CD，因为〈AE，EF〉＝〈AE，CD〉>90°，因2→→→→→→→→为AE·BC＝0，AE·CD<0，所以AE·BC>AE·CD. 4．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于(

) A.97

B．97

C.61

D．61 答案

C 解析

∵|2a－3b|2＝4a2－12a·b＋9b2

＝4×22－12×2×3×cos 60°＋9×32＝61，

∴|2a－3b|＝61. 5．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于(

) A．12

B．8＋13

C．4

D．13 答案

D 1－＝13. 解析

(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos 120°＝2×4－2×5×26．已知|a|＝1，|b|＝2，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为(

) A．60°

B．30°

C．135°

D．45°

答案

D 解析

∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，

∴a·a－a·b＝|a|2－|a|·|b|·cos〈a，b〉

＝1－1·2·cos〈a，b〉＝0，

∴cos〈a，b〉＝2. 2∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°. →→→→→→7．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD是(

) A．钝角三角形

C．直角三角形

答案

B →→→→→→→→→→→→→2→2→→解析

BC·BD＝(AC－AB)·(AD－AB)＝AC·AD－AC·AB－AB·AD＋AB＝AB>0，同理，CB·CD→→＞0，BD·DC＞0，∴三角形的三个内角均为锐角．

二、填空题

8．空间向量a，b之间的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝4，则a·b＝________，a2＝________，b2＝________，(a＋2b)·(a－b)＝________. 答案

63

9

16

63－23 解析

a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×4×cos 30°＝63；

a2＝a·a＝|a|2＝9；b2＝b·b＝|b|2＝16；

(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2

＝9＋63－32＝63－23. 9．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC→→→→的重心，则OG·(OA＋OB＋OC)＝________. 答案

14

3B．锐角三角形

D．不确定

→1→→→解析

∵OG＝(OA＋OB＋OC)，

3→→→→∴OG·(OA＋OB＋OC) 1→→→＝(OA＋OB＋OC)2

31→→→→→→→→→＝(OA2＋OB2＋OC2＋2OA·OB＋2OB·OC＋2OA·OC) 3114＝(1＋4＋9)＝. 3310．已知|a|＝32，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，且m⊥n，则实数λ等于________．

3答案

－

2解析

∵m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2＝18＋λ×32×4×cos 135°＋32×4×cos 135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，

3∴m·n＝0＝6＋4λ，∴λ＝－. 211.如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．

答案

90°

→→→→→1→解析

不妨设棱长为2，则AB1＝BB1－BA，BM＝BC＋BB1，

2→→→1→BB1－BA·BC＋BB12→→cos〈AB1，BM〉＝

22×50－2＋2－0＝＝0，故填90°. 22×5三、解答题

12.已知正四面体OABC的棱长为1.求：

→→(1)OA·OB；

→→→→(2)(OA＋OB)·(CA＋CB)；

→→→(3)|OA＋OB＋OC|. →→→→解

(1)OA·OB＝|OA|·|OB|·cos∠AOB

1＝1×1×cos 60°＝. 2→→→→(2)(OA＋OB)·(CA＋CB) →→→→→→＝(OA＋OB)·(OA－OC＋OB－OC) →→→→→＝(OA＋OB)·(OA＋OB－2OC) ＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.

→→→(3)|OA＋OB＋OC|＝→→→OA＋OB＋OC2

＝12＋12＋12＋2×1×1×cos 60°×3＝6. 13.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角．

→→→解

不妨设正方体的棱长为1，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0，

→→A1B＝a－c，AC＝a＋b. →→∴A1B·AC＝(a－c)·(a＋b)＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1. →→而|A1B|＝|AC|＝2，

→→∴cos〈A1B，AC〉＝→→∴〈A1B，AC〉＝60°. 因此，异面直线A1B与AC所成的角为60°.

11＝，

2×22