一、圆锥曲线的光学性质及其应用教学设计及教案分析

直线与圆锥曲线的位置关系教学设计

成都市新都香城中学冯开艾名师工作室：林克富

一、考纲

（1）了解圆锥曲线的简单应用

（2）理解数形结合的思想

二、教学目标

知识与技能：了解直线与圆锥曲线的位置关系，能利用对方程组解的的讨论来研究直线与圆锥曲线的位置关系

过程与方法：在探究过程中,运用数形结合和方程的思想,以运动的观点观察问题，思考问题，分析问题,进一步提高学生解决问题的能力

三、知识复习：

1、曲线的交点

在直角坐标系xOy中，给定的两条曲线C1：f(x,y)=0，C2：g(x,y)=0，求两曲线的交点坐标，即求方程组

的实数解

方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个公共点，若无实数解，则没有公共点。

2、直线与圆锥曲线的交点个数的判定

设直线

:Ax+By+C=0,圆锥曲线C：f(x,y)=0，联立方程组

消去y（或x），的关于x（或y）的方程：

ax2+bx+c=0（或：ay2+by+c=0）

（1），当a

,方程有两个不同实数解，直线与圆锥曲线有两个交点，为相交关系

,方程有两个相同实数解，直线与圆锥曲线有一个交点，为相切关系。

,方程有没有实数解，直线与圆锥曲线没有交点，为相离关系。

（2），当a=0，方程为一次方程，若b

，方程有一个解，直线与圆锥曲线有一个交点，为相交，这种情况只会在抛物线和双曲线中存在。若b=0,c

，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点。

3、直线与圆锥曲线的位置关系. （1）、直线与椭圆

没有交点，相离

一个交点，相切

两个交点，相交

（2）、直线与双曲线

没有交点，相离

一个交点，平行于渐近线则相交，其他情况是相切

两个交点，相交

（3）、直线与抛物线

没有交点，相离

一个交点，平行于对称轴，相交，其他情况，相切

两个交点，相交。

4、相交弦问题

（1）、弦长问题：

当弦的两端的坐标易得是，用两点间距离公式；

当直线斜率存在时，斜率为k，用弦长公式

=

当直线斜率不为0时，设

或者t=0,用弦长公式

=

当弦过焦点时，可用考虑焦半径公式求弦长。

（2）、中点弦问题，很多时候可以考虑点差法，但要检验直线是否和曲线相交。

也可以导入消元后用根与系数关系和中点坐标公式求解。

四、教学程序与环节设计

创设情境

组织探究

探索研究

巩固反思

课后作业

——

与以前所学知识类比，引起认知上的冲突

——

通过对一个讨论题组的研究，巩固研究问题的基本方法

——

在讨论和探索中，进一步巩固基本的研究方法，发现容易出错之处并引起重视

——

师生交流共同小结，归纳一般方法及易错点，解决课前提出的疑问

——

巩固本节课的知识及方法

五、教学过程设计

【情景一】

问题1：直线与圆位置关系有相离，相切，相交三种．如果把圆换成一般的圆锥曲线，又有怎样的位置关系呢？

【设计意图】

与直线和圆的位置关系进行类比，引起学生认知上的冲突．

【情景二】

x2y21的位置关系是___________．

1．若直线l过点（0，1），则它与椭圆422．过点（0，1）且与抛物线y24x仅有一个公共点的直线方程为_______________．

y21只有一个公共点，则m3．过点（0，1），斜率为5的直线与双曲线xm2______．

4.直线y=x-1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是

5.已知过点

P（-2，2）且垂直于向量(3,4)的直线与圆x2+y2-2ax+a2-a=0相切，则实数

a的值为

6.若椭圆x2+4y2=36的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为

7.过点（1，-2）作直线a，使a与双曲线x2-y2=4恰有一个公共点，则这样的直线a有

条

问题2：浏览之后想一想，你打算用什么方法来解决这几个问题呢？

设计意图】

复习巩固直线与圆锥曲线位置关系判断的两种方法，几何法和代数法。

【问题解决】

第一个问题，学生口答，用什么方法判断的？

题后反思：抓住了点在椭圆内这个特征，借助图形迅速判断．

接下来两个题，分组来解决．（讲义准备，分组解题；投影交流，教师补充板书

【情景三】（切换GeoGebra或者几何画板）

针对刚才的2，3两个小题，结合图形，让学生意识到同样是只有一个公共点，直线与圆锥曲线的位置关系可能是相切也可能是相交．回忆解题过程，相交直线的斜率从A0得到，而切线的斜率是从0得到．从图中看，当两个公共点重合时的直线就是切线，这与高三导数中切线的定义是一致的．因此，这个题也可以用导数的方法来解决．

【设计意图】

用代数方法解决问题之后，再回到图像，数形结合，帮助学生进一步理解和巩固直线与圆锥曲线仅一个公共点时的位置情况．

【情景四】

y21于P1,P2两点，且P讨论2：直线l过点（0，2），交双曲线x1A3AP2，求直2线l的方程．

【设计意图】

进一步巩固用联立方程韦达定理的方法来解决直线与圆锥曲线相交的一些问题．

【问题解决】

2分析：直线l与双曲线交于两个不同的点，因此联立方程需满足0；同时，P1A3AP2，可以找到P1,P2坐标之间的关系，用韦达定理来解决．

求解：设直线方程为：ykx2，代入双曲线方程得：(2k2)x24kx60

因为直线与双曲线交于两个不同的点，因此有：

22k022k6且k2

222(4k)4(2k)(6)488k0

设P1(x1,y1),P2(x2,y2)，P1A3AP2,x13x2，

4k4kxx2x－2x1222222k22k2，即：，解得：

则有k66322xx－3x3x212222k2k266x2,或yx2．

33回顾：直线与圆锥曲线相交问题，别忘判别式！

【情景五】（师生讨论）

所求直线方程为yx2y21，直线l:y4xm，若椭圆上存在两个不同的点关于该讨论3：已知椭圆43直线对称，求m的取值范围．

【设计意图】

经过讨论题组1的3个问题和讨论2的探究和解决过程，学生已经复习并巩固了直线与圆锥曲线位置关系的判断方法．这个问题是对该方法的进一步的应用，使学生熟练和运用这种思想，并用之培养学生数学分析问题、解决问题的能力．

【问题解决】

分析：若存在P1,P2关于直线l成轴对称，则直线l是线段P1P2的垂直平分线．要根据这几个条件，寻求它们与所求之间的联系，设计自己的解题方案，然后再实施解题方案．

求解：假设存在P1(x1,y1),P2(x2,y2)关于直线y4xm对称

x2y2111化简得：P1P2l，kP1P2，可设lP1P2:yxb，代入43441313x28bx16b2480

64(3912b2)0b2

4xx24b112b

设P1P2的中点为M，则xM1

,yMxMb21341313

将M坐标代入直线y4xm得：bm

41322134213213

)mm2m44131313回顾：先利用0求出b的范围，再找到b与m的关系，从而求出m的取值范围．

法二：假设存在P1(x1,y1),P2(x2,y2)关于直线y4xm对称，它们的中点为M(x0,y0)

b2(则：3x14y112(1)22223x24y212(2)3xyy21(1)(2)得：k10y03x0,又y04x0mx0m,y03m

x1x24y04

1M(m,3m)lP1P2:y3m(xm)，代入椭圆方程得：

4421321313x226mx169m2480，令0得：

m2

m131313(m)2(3m)22132131m法三：

,M(m,3m)在椭圆内



431313

【情景六】

今天主要研究了直线与圆锥曲线的公共点的情况

直线：axbyc0Ax2BxC0(或A'y2B'yC'0)

曲线：f(x,y)0（1）没有公共点



方程组无解

（2）一个公共点



i)相交A0ii)相切A0,0

（3）两个公共点



A0,0

问题1：回顾整节课的过程，在讨论中需要注意什么问题？有哪些是容易出错的？

问题2：直线与圆锥曲线的公共点可能有三个或者四个吗？

【设计意图】

小结主要分两个内容，一是方法上的总结，也就是本节课所研究的用方程的思想来解决直线与圆锥曲线公共点的问题，另一个是易错之处的强调，这个主要由学生提炼，加深印象．另外，对本节课开始所提出的直线与圆锥曲线公共点是否可能有3个或4个的疑问，加以解决。关注学生解决问题后的反思和总结，可以培养学生表达交流数学的能力．

【情景七】

练习：若抛物线

y=2x2

上两点A（x1,y1）,B(x2,y2)关于直线

y=x+m对称，且

x1x2= -1/2

, 则

m =

.

提示：AB：y=-x+b

y=-x+b

2x2+x-b=0

∴b=1

由

y=2x2

得

x1x2= -1/2

x1x2= -1/2

所以AB所在直线方程为

y= -x+1

又（x1+x2）/2=-1/4 ∴

（y1+y2）/2=-(-1/4)+1=5/4

AB中点为（-1/4，5/4）

由已知，AB中点在直线

y=x+m 上

∴

513m m442

点评：①贯穿“体验为红线，思维为主攻”；

②解答过程先由学生完成，充分发挥学生的主体作用，提高课堂效率。

3、焦点弦问题：注意利用圆锥曲线的两个定义、中点坐标公式、韦达定理。

课后作业：

x2y21，点M和N在椭圆上，且满足DMDN，求实数的1．已知点D(0,2)，椭圆2取值范围．

y21，试问过点A(1,1)能否作直线l，使它与双曲线交于P1,P2两2．已知双曲线方程x22点，且点A是线段P1P2的中点？如果存在，求出它的方程；如果不存在，试说明理由．

【设计意图】

巩固用方程的思想来解决直线与圆锥曲线位置关系的方法

小结：

直线与圆锥曲线相交的中点弦问题，要重视中点坐标公式和韦达定理。

点评：

①方程思想；

②常用技巧

设而不求

3弦长公式AB1kxx1k(xx)4xx

○121212222

=1112yy1(yy)4y1y2 (k0)

121222kk4焦半径公式的作用：化斜为直；

○5运用设而不求的解题技巧。

○