复习参考题教学设计实例

《圆锥曲线中的定点与定值问题》

——慈利一中高三文科数学组

教学内容分析

圆锥曲线在高考中占有重要的位置，也是高考命题的热点之一.由于圆锥曲线内容的丰富性，与其他章节知识交叉的综合性，决定了圆锥曲线在高考中地位的特殊性. 定点、定值问题与运动变化密切相关，这类问题常与函数，不等式，向量等其他章节知识综合，是学习圆锥曲线的一个难点，这就要求我们在圆锥曲线的复习中，要重视基础知识和方法的学习，理解和掌握圆锥曲线中的基本知识与方法，帮助学生自我构架圆锥曲线思维导图，实现对圆锥曲线的整体把握. 学情分析

在学习本节课以前，学生对圆锥曲线中的基础知识和基本方法有了一定的理解和掌握，学生具备一定的探究问题、分析问题和解决问题的能力，但对圆锥曲线中的定点和定值等综合问题的解决缺乏一个明确的“主线”，正确解答这类问题既要有较强的分析问题能力、几何直观能力还要有较强的运算能力，是对学生数学能力的综合体现，但这几方面学生都比较欠缺，这也是本节课需要对学生数学素养进行培育的重要着眼点. 教学目标

（1）掌握圆锥曲线中定点与定值问题的分析方法和解题策略；

（2）通过师生互动探究的过程，理解和掌握圆锥曲线中的基本知识与方法在处理定点和定值综合问题中的应用，帮助学生自我构架圆锥曲线思维导图，实现对圆锥曲线章节的整体把握；

（3）通过合作学习，让学生在团队协作中，自我探究，进一步让学生学会思考问题的方法，培养学生计算能力，严谨的推理能力和多角度思考问题的数学素养。

教学重点

掌握圆锥曲线中定点与定值问题的分析方法；参变量的选取原则

教学难点

对圆锥曲线基本知识与方法的综合运用；分析问题的能力和运算能力的突破

教学方法

启发式、讨论探究式. 1

教学过程设计

教学

环节

（一）

提问学生：

课

题

引

入

1、直线yk(x3)过定点

2、直线kxy2k40过定点

. 【说明】

定点定值问题就是证明某个量与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表达求证目标，通过运算求证目标的取值与变化的量无关．

（2017全国卷Ⅱ20改编）已知P点在圆（二）

例1：范

例

讲

解

深入分析解题过程，与学生一起归纳定点问题的解决策略：

（1）找到变化的根源，探究这一变化是由哪些量的变化引起的；进而引进参变量，根据题意建立这些参变量与已知量之间的关系；要使参变量的变化对建立的关系没有影响，其系数或整个代数结构就应满足一定的条件，而恰恰是这些条件决定了我们要探究的定点，这是解决定点问题的基本思路。

（2）特殊到一般的思想

可以先通过特殊情况找到这个定点，明确解决问题的目标，然后就一般的情形进行推理计算证明.

2

师生活动

设计意图

通过提问，让学生总结归纳之前学习的直线过定点的基础知识和基本方法，为接下来的定点和问题的探究作铺垫. 立足于学点Q在直线x3上，且OPOQ1.生现有认知水x2y24上，证明：过点P且垂直于OQ的直线l过定点. 平，通过此中等难度的例题，与学生一起探究分析解决圆锥曲线中的定点问题的主线，并对解决策略和通性通法加以梳理，体会特殊到一般思想的运用，培养学生的逻辑推理和数学运算核心素养.

例2：（2015全国卷Ⅱ20）已知椭圆定值问题本质x2y22，点(2,2)在上与例1中的C:221(ab0)的离心率为ab2定点问题是类椭圆C上．

似的，即这两(1)求椭圆C方程；

个问题都是寻l与有C两个(2)直线l不过原点O且不平行与坐标轴，求运动变化过交点A,B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜程中的不变率与直线l的斜率的乘积为定值．

性，而这些不回顾分析解题过程，归纳定值问题的解决策略：

变性常常反映与解决定点问题类似，首先寻找变化的根源，引入合了数学对象的适的参变量，建立参变量与其他已知量的关系；其次，本质属性，通把几何定值用引入的参变量表示；最后，利用代数恒过类比思想，等变形进行化简或消参变量，求得定值。可根据特殊探究定值问题情形，先确定定值，这对一般情形的推理指明了解决的解决策略.学方向. 教师补充总结：定值问题的含义比较丰富：可以是一生的难点在于些几何量：线段长度，三角形面积，向量的数量积、把代数恒等式线段的比例系数等，但都有有个共同特征，即：在变进行变形化简化过程中表现出来的不变量。

或消参

2利用这两道（三）

1、过双曲线x2y1的右支上的一点P作一直

4课

题，检验学生B两点，线l与两渐近线交于A、其中P是AB的中点.

堂

的课堂学习效练

习

求证：OAOB是一个定值．

2、（2015全国卷Ⅲ20）在直角坐标系xOy中，曲线

yxmx2与x轴交于A,B两点，点C的坐标为2果；并让学生在解题体验中感悟“解决圆锥曲线定点定(0,1)，当m变化时，证明过A,B,C三点的圆在y轴上值问题的关键截得的弦长为定值。

在于寻找产生变化的本质原因”.

3

（四）

结合本节课所学内容，谈谈你的收获，与学生一起总

小

结

结：

1、数学知识：

2、思想与方法：

特殊到一般、类比、化归、设参的原则

（五）

1、

已知抛物线C:y22px(p0)，过点这三道作业题布

置

作

业

M(a,0) (a0)与x轴不垂直的直线l与C交于有很强的代表性，一方面，A(x1,y1)、B(x2、y2)两点。设A关于x轴的对称点让学生练习课为D，求证：直线BD过定点。

2)作倾斜角互补的两

2、

过抛物线y2x上一点A(4，条直线AB,AC，它们分别交抛物线于B,C两点，求

证：直线BC的斜率为定值.

上分析问题的思路和计算能力，另一方面，通过这些题目的选取，让学生感受圆锥曲x2y23、如图，F1、F2分别是椭圆C:221（ab0）ab线中的这类问的左、右焦点，且焦距为22，动弦AB平行于x轴，题在高考中的且|F1A||F1B|4；

重要地位，并（1）求椭圆C的方程；

对学生的数据（2）若点P是椭圆C上异分析，直观想于点A、B的任意一点，象，数学运算，且直线PA、PB分别与y逻辑推理的数N，轴交于点M、若MF2、学素养的培养NF2的斜率分别为k1、k2，求证：k1k2是定值。

大有裨益.

4