3.1.3 导数的几何意义主要内容及教案内容

2015-2016学年度

高二数学◆选修2-2第一章导数◆导学案

03

课题§1.1.3 导数的几何意义

教学目标：

1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系; 2.理解曲线的切线的概念; 3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题

二．教学过程：

（一）。【复习回顾】

1．平均变化率、割线的斜率

2．瞬时速度、导数

（二）。【提出问题，展示目标】

我们知道,导数表示函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率,反映了函数yf(x)在xx0附近的变化情况,导数f(x0)的几何意义是什么呢？

（三）、【合作探究】

1.曲线的切线及切线的斜率

如图3.1-2,当Pn(xn,f(xn))(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时,割线PPn的变化图3.1-2 趋势是什么？

我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PPn趋近于确定的位置, 这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

问题: (1)割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？

(2)切线PT的斜率k为多少？

容易知道,割线PPf(xn)f(x0)n的斜率是knxx,n0当点Pn沿着曲线无限接近点P时, kn无限趋近于切线PT的斜率k,即kf(x0x)f(x0)limx0xf(x0)

1 说明: (1)当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念:

①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

②切线斜率的本质—函数在xx0处的导数.

(2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多. 2.导数的几何意义

函数yf(x)在xx0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率, [来源:www.shulihua.net]

即f(xf(x0x)f(x0)0)limx0xk

说明: 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②求出函数在点x0处的变化率f(xf(x0x)f(x0)0)limx0xk得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程. 3.导函数

由函数yf(x)在xx0处求导数的过程可以看到,当xx0时,f(x0)是一个

确定的数,那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作:f(x)或y, 即f(x)ylimf(xx)f(x)x0x.

注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数. 4.函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数之间的区别与联系

(1)函数在一点处的导数f(x0),就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的

极限,它是一个常数,不是变数. (2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数.

(3)函数f(x)在点x'0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值,这也是[来源:www.shulihua.net][来源:www.shulihua.net]

求函数在点x0处的导数的方法之一.

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三．【例题精析】

例1 求曲线yf(x)x21在点P(1,2)处的切线方程. 这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢. 例3如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度cf(t)(单位：

mg/mL)随时间t（单位：min）变式训练1求函数y3x2在点(1,3)处的切线方程.因为3x23123(x212y|)x1limx1

x1limx1x1lim3(x1x1)6

所以,所求切线的斜率为6,因此,所求的切线方程为y36(x1)即6xy30

例2 如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x)4.9x26.5x10, 根据图像,请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况.

解: 我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线, 刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况. (1)

当tt0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴, 所以,在tt0附近曲线比较平坦,几乎没有升降. (2)当tt1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h(t1)0, 所以,在tt1附近曲线下降, 即函数h(x)4.9x26.5x10在tt1附近单调递减. (3)当tt2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)0, 所以,在tt2附近曲线下降, 即函数h(x)4.9x26.5x10在tt2附近单调递减．

从图3.1-3可以看出,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度,

2 变化的图象．根据图像，估计t0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率．

如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．

作t0.8处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：k0.480.911.00.71.4

所以

f(0.8)1.4

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：

t

0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度瞬时变化率f'(t)

0.4 0 -0.7 -1.4

四、总结提升

函数yf(x)在x0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处切线的斜率.

即k=f(xf(xx)f(x0)0)limx0x

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其切线方程为

yf('x0)(xx0)y0

知识拓展

导数的物理意义：

如果把函数yf(x)看做是物体的运动方程（也叫做位移公式，自变量x表示时间），那么导数f(x0)表示运动物体在时刻xo的速度，，即在xo的瞬时速度.即vyx0f(x0)limt0x

而运动物体的速度v(t)对时间t的导数，即v(t)limv称为物体运动时的瞬时加速度.

t0t

五、课堂练习

1．已知曲线y＝1x2－2上一点P321，－2，则过点P的切线的倾斜角为(

)．

A．30°

B．45°

C．135°

D．165°

解析

∵y＝12x2－2，

1Δx2－2－1∴y′＝lim

2x＋2x2－2Δx

Δx→01

＝lim

2Δx2＋x·ΔxΔx

Δx→0

＝lim

x＋12Δx＝xΔx0. →∴y′|x＝1.∴点P3＝11，－2处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°. 答案

B 2．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于(

)．

A．2

B．4 C．6＋6Δx＋2(Δx)2

D．6 解析

∵y＝2x3，∴y′＝lim

ΔyΔx＝lim

Δx→0Δx→0

3 2x＋Δx3－2x3Δx

＝2 lim

Δx3＋3xΔx2＋3x2ΔxΔx

Δx→0＝2 lim

[(Δx)2＋3xΔx＋3x2]＝6x2. Δx→0∴y′|x＝1＝6.∴点A(1,2)处切线的斜率为6. 答案

D 3．设y＝f(x)存在导函数，且满足limΔx→0f1－f1－2Δx2Δx＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为

(

)．

A．2

B．－1

C．1

D．－2 解析

lim

f1－f1－2Δx2Δx＝Δx→0f1－f1－2Δx2Δx

＝f′(1)＝－1. 答案

B 4．曲线y＝2x－x3在点(1,1)处的切线方程为________．

解析

求出y＝2x－x3在(1,1)处的斜率为－1，故方程为x＋y－2＝0. 答案

x＋y－2＝0 5．设y＝f(x)为可导函数，且满足条件

lim

f1－f1－x2x＝－2，则曲线y＝f(x)在点

x→0(1，f(1))处的切线的斜率是________．

解析

由

lim

f1－f1－x2x＝－2，∴12x→0f′(1)＝－2，f′(1)＝－4. 答案

－4

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6．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．

解

先求曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的斜率，k＝y′(1) ＝

lim

31＋Δx2－41＋Δx＋2－3＋4－2Δx

Δx→0＝

lim

(3Δx＋2)＝2. Δx→0设过点P(－1,2)且斜率为2的直线为l，则由点斜式：y－2＝2(x＋1)，化为一般式：

2x－y＋4＝0. 所以，所求直线方程为2x－y＋4＝0. 7．函数y＝－11x在2，－2处的切线方程是

(

)．

A．y＝4x

B．y＝4x－4 C．y＝4x＋4

D．y＝2x－4 －11解析

∵y′＝

lim

x＋Δx＋xΔx＝

lim

Δx→0Δx→0Δxxx＋Δx1Δx＝x2，

∴f′121＝4，∴切线方程是y＋2＝4x－2

得y＝4x－4. 答案

B 8．若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p的值为________．

解析

设切点为(x0,1)，f′(x0)＝4x0－4，由题意知，4x0－4＝0，x0＝1，即切点为(1,1)，所以1＝2－4＋p，∴p＝3. 答案

3 9．曲线y＝x2－3x上的点P处的

4 切线平行于x轴，求点P的坐标．

解

设P(x0，y0)，

Δy＝(x＋Δx)2－3(x＋Δx)－(x2－3x) ＝2x·Δx＋(Δx)2－3Δx，

Δy2x·Δx＋Δx2－3ΔxΔx＝Δx＝2x＋Δx－3.

lim

ΔyΔx＝

lim

(2x＋Δx－3)＝2x－3，

Δx→0Δx→0∴y′|x＝x令2x30＝2x0－3，0－3＝0得x0＝2，代入曲线方程得y90＝－394，∴P2，－4. 10．(创新拓展)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1,1)，Q(2，－1)，且在点Q处与直线

y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．

解

∵曲线y＝ax2＋bx＋c过P(1,1)点，

∴a＋b＋c＝1.

①

∵y′＝2ax＋b，∴y′|x＝2＝4a＋b，

∴4a＋b＝1.

②

又曲线过Q(2，－1)点，∴4a＋2b＋c＝－1，

③

联立①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9.