2.4.1 抛物线的标准方程第二课时教案

课题：

拋物线及其标准方程

一、教学目标

1．理解拋物线的定义，掌握拋物线的标准方程及其推导。明确拋物线标准方程中的几何意义，能解决简单的求拋物线标准方程问题。

2、通过对拋物线和椭圆、双曲线离心率的比较，体会三种圆锥曲线内在的区别和联系。

3、熟练掌握求曲线方程的基本方法，通过四种不同形式标准方程的对比，培养学生分析、归纳的能力。

4．营造亲切、和谐的氛围，以“趣”激学。引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美。培养合作学习的意识，体会成功带来的喜悦。发展数学应用意识，认识数学的应用价值。

二、教材分析

《抛物线及其标准方程》是全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）第八章《圆锥曲线》第三节第一课时内容。本节在教材中的地位和作用：在初中阶段，抛物线为学生学习二次函数提供直观的图象感觉；在高中阶段，它在一元二次不等式的解法、求最大（小）值等方面有着重要的作用。但学生并不清楚这种曲线的本质，随着学生数学知识的逐渐完备，尤其是学习了椭圆、双曲线的第二定义之后，已具备了探讨这个问题的能力。从本章来讲，这一节放在椭圆和双曲线之后，一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要，拋物线是离心率的特例；另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化。本节对拋物线定义的研究，与初中阶段二次函数的图象遥相呼应，体现了数学的和谐之美。教材的这种安排，是为了分散难点，符合认知的渐进性原则。

三、学情分析

我校是省一级达标学校，有优越的多媒体设备，学生的数学基础较好，

有强烈的求知欲，具备一定的分析、观察等能力。在此之前，学生已经熟练掌握

二次函数图象、椭圆、双曲线的第二定义与求轨迹方程等内容，迫切想了解抛物

线的本质特征。但是在动手操作与合作学习等方面，发展不均衡，有待加强。

四、教学策略选择与设计

为了培养不仅能“学会”知识，而且能“会学”知识的人才以及根据我校提出

的“创设情景、激发情感、主动发现、主动发展”的教学模式，在课堂设计上，教师应学会如何创设情景，激发学生学习的兴趣；围绕教材的重难点，比如本节的“拋物线的标准方程及其推导”和“拋物线概念的形成”，教师应学会如何设计不同的活动环节，设置由浅入深、环环相扣的问题，通过教师适时的引导，通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，使学生真正成为学习的主人，不断完善自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦。

五、教学重点及难点

教学重点: 拋物线的定义及其标准方程的推导。通过学生自主建立直角坐标系和对方程的讨论选择突出重点。

教学难点：拋物线概念的形成。通过条件数的比较突破难点。

六、教学过程

教师活动

的画法设计，标准方程与二次函学生活动

设计意图

一．设置情景，导入新课

借助多媒体,先给出一张看到图片此时学生的兴姚明的图片。

趣来啦！

师：姚明是我们中国人的生：天赋、身高！

骄傲，我们要向他学习！生：勤奋练习！

大家都知道姚明的投篮

非常精准！为什么呢？

师：再给出两张姚明的图生：与投篮时的弧线有片

关！

生：这弧线是抛物线！

师：对！姚明有许多优越的先天条件，同时好的技术也是一个关键的因素，今天我们就着手研究这个内容。进而引出本节研究的课题：抛物线及其标准方程

二．引导探究，获得新知

师：在初中我们已经从函

数角度学过抛物线，那

么，这一节课我们将冲破

一个引人入胜的开头会拓宽学生思路，尊重学生的生命活动，激发兴趣，陶冶情操，大大提高教学效率。

不仅回顾了椭圆与双曲线的相关内容，而且为如何画抛物线奠定坚实基础。

初中的界限从曲线和方

程的角度来学习抛物线。

生：定义不一样！

着重培养学生合情推理师：前面，我们学习了椭生：方程！椭圆是与逻辑思维能力，增强学圆和双曲线的相关知识，生的学习兴趣，增强学生那么它们的联系和差异，双曲线是的自信心

是什么？

。

生：椭圆是封闭的，双曲师：还有吗？

线是开放的。

生：它们到定点的距离与师：这只是图象不同，为

到定直线的距离的比等什么会这样呢？

于一个常数！

生：这个常数是离心率！

生：离心率不同，椭圆师：对啊！这是定性上的，

离心率的范围是

定量上有不同吗？

，双曲线离心率

的范围是。

师：对了，可看成是它

们的相同点，又是不同

点！

（打开几何画板）

师：现在我慢慢拖动，大生：是椭圆，

家认真观察图象。

是双曲线。

生：学生认真观察图象的

变化，认知的图象就

是抛物线。

师：但你们有没观察到

时的图象？

探讨师：这抛物线是怎么画出前后学生组成四人小组，来的啊！（课堂顿时一片画图方案。

寂静）

师：一段时间后，让学生

汇报自己的设计方案，并

用实物投影仪展示学生

所画的图形，师生共同就

方案的可行性进行论证

师：接下来我也来演示下

抛物线的形成过程。（打

开几何画板软件）

师：认真观察点的运动生：

1.学生在知识认知与情感发展方面的疑惑，及时引导鼓励；

2.关注每个人的活动情况，做到全员参与，从同学们的探究中，了解学生对知识理解的不同程度，思考的不同方向，对有代表性的方案注意收集

过程，你们有什么发现？和

（利用几何画板软件同

等于，所以点在运

步动态演示）

动时，始终等于

师：这位同学观察很敏

锐，直接抓住关键地方！

师：那这样画出来的图象生：抛物线！

也是？

师：很好

师：所以今天我们就巧妙

地利用几何知识和计算

机等方式画出了整个图

象。

学生间合作交流，完成对抛物线定义的归纳，着重

师：现在你们就可以归纳

一下抛物线的定义了！

师：说得很好！这里叫生:平面内到一个定点和到一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做拋物线。

培养学生分析、归纳等能力。

做拋物线的焦点，定直线叫做拋物线的准线。

三．深入探索，推导方程

师：接下来你们试试推导拋物线的方程？（简单回顾求曲线方程的方法）

师：一段时间后，实物投影仪展示学生探讨的结果。

1.

以为原点，定直线所在轴建立平面直角的直线为坐标系，此时得方程为：

2.以为原点，过的直线为且垂直轴建于定直线生：分组讨论，集中探索

通过有启发性的活动设计和层层深入的问题设置，使学生在分析、探究、

反思和归纳中，不断获得解决问题的方法。

立平面直角坐标系，此时方程：3.以垂线段点，

的中点为原

所在的直线为轴

建立平面直角坐标系，此时得方程：

2.

师：哪个好呢？

师：我们就把它叫做拋物线

生：方案3所得的方程更简洁！

的标准方程，注意这里标准

的规范是顶点在原点，图象

关于轴对称。

师：现在请同学们增大点生：点到直尺的距离，重复到直尺的距离发生变化，抛物线开口也发生变化。

刚才的实验，比较一下，

抛物线有什么变化？再

缩小这个距离试一试。

师：观察很准确！这说明生：焦点到准线的距离是抛物线的一个重要的几了什么？

何特征。

师：说得非常好！

师：接下来看课本的一条生：轴和轴对调了。拋物线，试将你们的课本生：还有开口向上了！

再观察，

会有什么发现？

逆时针旋转

师：同学观察得很仔细！

生：将中的和

那么你们能推出它的方程吗？

对调就行了，就是！

师：大家在等式两边同除生：看看！

，哦，是二次函数形式！

师：对了！这就是我们熟

悉的二次函数了！

师：那再逆时针旋转怎么求？

师：再逆时针旋转呢？

行，就是

众生：和于轴对称，将就行，就是图象关替换！

！

，生：和轴对称，将图象关于替换就

师：打开计算机里的表

格，学生迅速完成表格内

容！

师：你们完成的过程有没生：从的什么发现？

形式上，方程的一次项决定焦点的位置。

生：还有一次项系数符号

决定开口方向，而且可以

迅速算出焦点坐标为

通过老师的层层引导，学生自主完成计算机中的表格的内容，认清抛物线和二次函数图象的联系，认清抛物线标准方程的各种形式。

和准线方程为。

引导学生透过现象看本

生：抛物线标准方程和椭质，不断提升分析、总结圆、双曲线的标准方程不与归纳等能力，也为分析师：观察很敏锐，分析很同的是：确定抛物线只要例题和解决实际应用问透彻，很好！

题奠定理论基础。

一个自由量，而确定椭

圆和双曲线则需要两个

自由量。

四.指导应用，鼓励创新

师：接下来我们运用上述

所学到的知识来解决一

些问题。

如：1.已知拋物线的标准生：方程是关于的一次

项，系数是负的，所以焦

方程是，现在点在轴上，开口向左，

请你们说出它的焦点坐所以焦点坐标是（），

标和准线方程。

准线方程是。

3.

已知拋物线方程是生：焦点坐标是

，请说出它的焦

点坐标和准线方程。

生：二次项系数不为1，巩固四种方程的形式及师：是这样吗？

所以要先化成标准方程！曲线特征，熟悉相关公

式。强调解决抛物线方程

问题时要先转化为标准应该先变成再方程。

求。

师：太好了！所以解题时众生：焦点坐标是

不要张冠李戴！结果算出

来了吗？

，准线是

。

师：还有吗？

生：建立直角坐标系！

当遇到实际应用题，学生可能会感到困惑，但在教师的引导下，利用掌握的相关知识解决了实际生活问题。设计一道求投篮轨迹的方程的例题，不仅与开头遥相呼应，而且可以巩固新知识，加深学生的数学应用意识，让学生感受数学的价值，体会数师：现在我们回到姚明的这副图，有一次姚明投篮时，测得投篮的轨迹是抛物线，请看画的图形，抛物线最高点离底面距离为，篮框高为，篮框中心离最高点的水平距离为，怎么求投中时抛物线的方程？（生思考）

为坐学来自生活，又应用于生活，服务于生活。

题！我们如何将这个问题标原点，所在直线为

转化成数学问题呢？

轴建立坐标系，这样抛

师：那怎么建立啊？

物线就在轴下方，直接

设，又

师：这是一道实际生活问生：这里应该以点

师：很好！接着我们还可

，则就是！

，方程

生：只要知道姚明的身高，我们还可以算出投篮地方离篮框的水平距离。

以算出？

七、板书设计

八、教学反思

本节是在学生学习了椭圆、双曲线之后，因此在教学设计中，应注意充分调动学生已有的知识，引导学生把新旧知识有机融合，掌握知识的系统结构。时时与前两种曲线进行比较，不断复习学生已经理解和掌握了的建系求曲线方程的步骤。为了突破本节课的难点——拋物线概念的形成。在教学设计中，注重设计三个活动：第一个活动让学生感受曲线上的一个点，并培养学习的信心；第二个活动中，圆锥曲线教具在概念的形成过程中起到非常重要的作用，为学生的自主探究活动提供了实物载体，并能体会成功带来的喜悦；第三个活动中，计算机为教师进行教学演示和学生的观察提供了平台，三个活动有机结合，协调发挥作用，不仅使学生加深了对抛物线概念的理解，而且使课堂更加紧凑有序。为了突出本节课的重点，与同学们所熟知的二次函数对比，通过变换坐标系的建立，一方面强化学生求曲线方程的基本功，另一方面与二次函数联系起来，使学生有一种“顿悟”的感觉。总之，在“以学生发展为核心”的理念和我校的教学模式下，要在每个阶段的教学中都必须精心设计问题情景，为学生自主探究和发现创造条件，为培养学生的实践能力和创新能力，构建一个探索性的学习空间。