2.6.2 求曲线的方程教学内容概述

苏教版2003年课标版

选修2-1 第二章

2. 6.2

《求曲线的方程》教学设计

教学目标

1．知识与技能

能叙述求曲线方程的一般步骤，并能根据所给条件选择适当的坐标系，求出曲线的方程．

2．过程与方法

经过求曲线的方程的过程，培养学生发散思维和转化，归纳数形结合等数学思想方法，提高分析问题，解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观

在问题解决过程中，培养学生积极探索和团结协作的科学精神．在民主，和谐的教学气氛中，充分的促进师生间的情感交流，形成学习数学的积极态度．激发学生热爱数学，学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神．

教材分析

1.

知识结构

在充分讨论曲线与方程的概念，并介绍了坐标法的五步骤，以及解析几的基本问题，即由曲线的已知条件，求曲线方程；通过方程，研究曲线的性质后，由于曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序，前者回答什么是曲线方程，后者解决如何求出曲线方程，因此，本节主要涉及求曲线的方程的几种常见求法这一基本问题. 2. 重点、难点分析

（1）本节内容教学的重点是使学生理掌握求曲线方程的几种常用方法，以及领悟坐标法和解析几何的思想．实际上就是求曲线方程的基本方法和步骤. （2）本节的难点如何由已知条件选择求曲线方程的方法求解．

①在学习求曲线方程的方法时，应从具体实例，已知条件出发，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程(曲线的方程)，这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提醒学生注意转化是否为等价的，这将决定第五步如何做．

这五个步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即

由此可见，曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程．”

②求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中掌握的，教学中要把握好“度”．

教学重点：求曲线方程的基本方法和步骤．

1

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教学难点：由已知条件求曲线方程．

教学用具：计算机．

教学方法：启发引导法，讨论法．

教学过程：

一、【引入】

1．提问：求曲线的方程的一般步骤是什么？

学生思考并回答．（课件逐条展示）

求曲线方程的一般步骤为五步．用流程图表示如下：

教师板书并强调：

实际上，我们经常将求曲线方程的流程图简记为（10字方针）：

建系→设点→列式→化简→证明

事实上，要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线．本节课就初步研究曲线方程的求法．

【问题】

2.如何根据已知条件，求出曲线的方程？

今天我们一起来学习求曲线方程的常用方法

求曲线方程的常用方法有直接法、定义法、相关点法等。接下来，以例题的形式来学习它们是如何应用在解题过程中. 二、例题讲解，设疑问答（板书与课件并用）

例1：已知定点A(0,1)，直线l1：y＝－1，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.求动点C的轨迹E的方程。

（首先让学生思考并分析，提问学生如何求解这道题目？）

【分析】

利用平面几何的知识，数形结合，分析点C满足的几何条件，可直接用求曲线方程的五步骤解题，此题第一步不需建系。

【解析】 设动点C(x，y) 根据题意可知，点C到点A的距离与到直线l1：y＝－1的距离相等，

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所以x2＋y－12＝|y＋1|，两边平方整理得x＝4y.

2∴点E的轨迹方程为x＝4y 22.（分析引入求曲线方程的第一种方法：类型一

直接法求轨迹方程。并引导学生通过刚才解题过程，思考想一想）

师：直接法求动点轨迹的关键是什么？

生：根据形成轨迹的几何条件和图形性质，直接写出所求动点坐标满足的关系式，即题设中有明显的等量关系式的，或可用平面几何知识推出等量关系式的，可用直接法．

师：大家思考一下，这道题还有没有其他解法？（在刚才解题过程中，应该有些学生已经想到可以由前面刚学过的某些具体的曲线定义来求解）

生：由于所给曲线的几何条件满足抛物线的定义，可用抛物线的定义求解．

例1（法二）：

【分析】利用平面几何的知识，分析点C满足的条件为抛物线，可用抛物线的定义求解．

【解析】

根据题意可知，动点C到定点A的距离与到定直线 l1：y＝－1的距离相等，符合抛物线定义. 所以点C的轨迹为抛物线,设动点C(x，y) 2由A(0,1)为焦点，直线y＝－1为准线,满足的方程为x＝2py ∴

＝1，∴

p＝2， ∴点E的轨迹方程为x＝4y 2（分析引入求曲线方程的第二种方法：类型二

定义法求曲线的轨迹方程。并引导学生通过刚才解题过程，思考想一想）

师：定义法求曲线的轨迹的关键是什么？

生：（老师引导，学生回答）若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，后用待定系数法求解，这种求轨迹的方法称为定义法，利用此方法就是要善于抓住曲线的定义的特征。

老师再次介绍两种求曲线方程的方法，强调两种方法的关键，并抛出例2，让学生先看题思考如何求解这道题，并设疑，是否能用刚才所学的两种方法来解题？

2例2：已知P在抛物线y＝x上运动，有一点Q(4,2)，求线段PQ的中点M的轨迹方程．

（老师先利用几何画板，动态演示点M的运动轨迹，再分析如何求解。）

师：通过刚才的动态演示，大家观察到什么？能否用直接法和定义法来求解，如果不能，那应如何求解呢？

生：（老师引导，学生作答过程中会自觉发现如何求解）出现两个动点，由动态演示可以看到，所求动点M随着动点P运动的位置变化而变化，且点M依然保持中点的位置，点P始终在已知的抛物线上运动。可由中点坐标公式，将动点P的坐标由所求动点M的坐标表示，代入到已知抛物线，进而得到所求动点的轨迹方程。

【分析】

设M(x，y)，由M为线段PQ的中点，可表示出在已知抛物线上运动的点P的坐标，代入到已知抛物线，进而得到所求动点的轨迹方程

p2

3

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【解析】解：设M(x，y)，P(x0，y0)．由M为线段PQ的中点

x0＋4y0＋2得＝x，＝y，则x0＝2x－4，y0＝2y－2. 222因为P(x0，y0)在抛物线y＝x2上，即y0＝x20，得2y－2＝(2x－4)，

化简得y＝2x2－8x＋9.

即线段PQ的中点M的轨迹方程为y＝2x2－8x＋9. （分析引入求曲线方程的第三种方法：类型三

相关点法求动点的轨迹方程。并引导学生通过刚才解题过程，思考想一想）

师：相关点法求动点轨迹的关键是什么？

生：（老师引导，再次观看动态演示，学生回答）

（1）动点满足的条件不方便用等式求出，但动点随着另一个动点(相关点)而运动时，可以用动点坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，即可得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关动点法，也称代入法．

（2）相关点法求动点轨迹，设从动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x0，y0)，用x，y表示x0，y0，不要弄反代入而导致错误．

三、课堂回馈

即时达标

（通过刚才我们一起学习的求曲线方程的三种方法：直接法，定义法，相关点法，接下来做几道题目练笔一下，看看大家掌握的情况）

练一练

1、已知平面上两个定点A，B之间的距离为2a，点M到A，B两点的距离之比为

2∶1，求动点M的轨迹方程．

师：思考一下，这道题应该用什么方法求解？

生：有明显的等量关系式，所以可以用直接法。

师：不论用哪种方法，都严格按照求曲线方程的五步骤执行，第一步，建系，这道题需要建系吗？如果需要建系，如何建系？之前我们已经知道，建系不唯一，两桌为一组，讨论一下，我们再请同学来讲一下，你们是如何建系的？

生（一）：（学生回答，老师板书画出示意图坐标系）我们这一组是以A为坐标原点，AB所在直线为X 轴建立平面直角坐标系。

师：还有其他不同的建法吗？

生（二）（学生回答，老师板书画出示意图坐标系）我们这一组是以B为坐标原点，AB所在直线为X 轴建立平面直角坐标系。

师：这两组同学建系的原理是一样，还有其他建法吗？

生（三）（学生回答，老师板书画出示意图坐标系）我们这一组是以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为X

轴建立平面直角坐标系。

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师：刚才三组同学给的三种建系方法，都可以，那么大家看一下，哪一种会更为恰当呢？

生：（齐答）第三种，由前面刚学圆锥曲线的方程，常用线段中点作为坐标原点，线段所在直线作为坐标轴，建立平面直角坐标系。

师：对，怎样建立恰当的坐标系，我们一起来看下

方法归纳：求轨迹方程关键是建立恰当的坐标系(已给的不需建系)，常见的建系方法有：

①以已知定点为原点；

②以已知定直线为坐标轴(x轴或y轴)；

③以已知线段所在的直线为坐标轴(x轴或y轴)，以已知线段的中点为原点；

④以已知互相垂直的两定直线为坐标轴；

⑤让尽量多的已知点在坐标轴上．

总之一句话：遵循垂直性和对称性原则．

（第一步，建系，已完成，如何书写解题过程，大家动笔做一做，我们再一起看下。）

解：以两个定点A，B所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．

由于AB＝2a，则设A(－a，0)，B(a，0)，动点M(x，y)．

因为MA∶MB＝2∶1，

所以（x＋a）2＋y2∶（x－a）2＋y2＝2∶1，

即（x＋a）2＋y2＝2（x－a）2＋y2，

5a5a1616x－＋y2＝a2.

所以所求动点M的轨迹方程为x－＋y2＝a2.

化简得33992、

已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，边AC，BC所在直线的斜率1之积为－，求顶点C的轨迹方程．

4师：思考一下，这道题应该用什么方法求解？

生：有明显的等量关系式，所以可以用直接法。

师：不论用哪种方法，都严格按照求曲线方程的五步骤执行，第一步，建系，这道题需要建系吗？

生：（齐答）不需要。

师：此题如何求解呢？同学们，动笔写一写。

【解】

设顶点C的坐标为(x，y)，则kCA＝(x≠－3)，kBC＝(x≠3)．

x＋3x－32222yy1yy1x4y∵kCA·kBC＝－，∴·＝－，

化简得＋＝1(x≠±3)．

4x＋3x－3499当x＝±3时，A，B，C三点共线，则不能构成三角形，故x≠±3. ∴所求顶点C的轨迹方程为＋＝1(x≠±3)．

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5 x24y2

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师：通过刚才求解，我们发现，并不是所有的点都在所求的曲线上，需要证明检验两个特殊点，需舍去，那么思考一下，怎样检验取舍特殊点？

生：（老师引导，学生回答）

对动点轨迹(方程)的检验，一般都是对特殊点进行检验，如三角形三顶点不共线，利用斜率列方程，动点必须保证斜率存在等．

3、

已知圆A：(x＋2)＋y＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．

【分析】

利用平面几何的知识，分析点P满足的条件为抛物线，可用定义法求解．

【解答】

如图，作PK垂直于直线x＝1，垂足为K，22PQ垂直于直线x＝2，垂足为Q，则KQ＝1，所以PQ＝r＋1，又AP＝r＋1，所以AP＝PQ，

故点P到圆心A(－2,0)的距离和到定直线x＝2的距离相等，所以点P的轨迹为抛物线，

设动点P为(x，y)，满足的方程为y＝－2px

由A(－2,0)为焦点，直线x＝2为准线．

∴＝2，∴p＝4，

∴点P的轨迹方程为y＝－8x. 24、在例3中，已知P在抛物线y＝x上运动，另有一点Q(4,2)，若点M →→→222p2满足PQ＝3MQ，则点M的轨迹方程是什么？

→【解】

设P(x0，y0)，则y0＝x0，设M(x，y)，则PQ＝(4－x0,2－y0)，MQ＝(4－x,2－y)，4－x0＝3由PQ＝3MQ，得2－y0＝3→→4－x2－y

x0＝3x－8，即y0＝3y－4，

又y0＝x0，∴3y－4＝(3x－8)，

22686822化简得y＝3x－16x＋ 。 即点M的轨迹方程为y＝3x－16x＋. 33四、课堂小结（师生共同总结）

1．求曲线的方程常用的方法有直接法、定义法、相关点法等．（每种方法关键是什么？）

2．求曲线的方程，其步骤严格来说有五步，即建系，设点，列式，化简，证明．建立坐标系要恰当，证明一般要省略，即使检验也是对特殊点进行检验．（怎样建恰当的坐标系？怎样取舍特殊点？）

提示：求动点轨迹方程一定要注意解题的严谨性，当动点的轨迹不是整条曲线时，要去掉某些特殊点，即对变量x，y进行限制. 五、课后强化作业

1．到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是________．

（答案

y＝±x.）

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2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a>c>b，且a，c，b成等差数列，ABx2y2＝2，求顶点C的轨迹方程．（答案

＋＝1．

(x<0且x≠－2) ）

43变一变：本题已知条件“a>c>b且a，c，b成等差数列”改为“△ABC的周长为6且AB＝2”，求顶点C的轨迹方程． （答案 ＋＝1(x≠±2).）

433.设圆C：(x－1)＋y＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．

（一题多解）

21x－＋y2＝1(0＜x≤1)

4

答案 222x2y2

【板书设计】

2. 6.2

求曲线的方程

1、坐标法（五步骤）

建系→设点→列式→化简→证明

课件展示

例题

练习

小结

作业

解题过程展示

例1（法一）

（法二）

例2 练习1 练习2

2、方法

（1）直接法：

（2）定义法：

（3）相关点法（代入法）：

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