3.2.1 几个常用函数的导数课堂实录【3】

§1.2.1几个常用函数的导数

教学目标：

yx、1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数yc、yx2、1y的导数公式，并能够归纳猜想出一般式的导数。 x2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．

1教学重点：四种常见函数yc、yx、yx2、y的导数公式及应用

x1教学难点：

四种常见函数yx3、yx、y的导数公式

x教学过程：

一．创设情景

我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数yf(x)，如何求它的导数呢？

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．

二．新课讲授

1．函数yf(x)c的导数

根据导数定义，因为yf(xx)f(x)cc0

xxxylim00

所以ylimx0xx0函数

导数

yc

y0

y0表示函数yc图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若yc表示路程关于时间的函数，则y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

学生推导公式（分组推导）

2．函数yf(x)x的导数

因为所以ylimyf(xx)f(x)xxx1

xxxylim11

x0xx0函数

导数

yx

y1

y1表示函数yx图像上每一点处的切线的斜率都为1．若yx表示路程关于时间的函数，则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。

3．函数yf(x)x2的导数

yf(xx)f(x)(xx)2x2x22xx(x)2x22xx

因为xxxxylim(2xx)2x

所以ylimx0xx0函数

导数

yx2

y2x

y2x表示函数yx2图像上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x0时，随着x的增加，函数yx2减少得越来越慢；当x0时，随着x的增加，函数yx2增加得越来越快．若yx2表示路程关于时间的函数，则y2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x．

14．函数yf(x)的导数

x111yf(xx)f(x)xxxx(xx)2因为

x(xx)xxxxxxxy11lim(2)2

所以ylimx0xx0xxxx函数

导数

y

5．函数yf(x)1

xy学科网]12x

[来源x的导数

n*推广：若yf(x)x(nQ)，则f(x)nxn1

三．例题讲解

例：1、|y=x4 2、y=

1x2

1x23练习：1、y=x 2、y=33、y=x4、y=

xx四．探究题

1．求曲线y=6在点（1,6）处的切线方程？

62．求曲线y1在点(1,1)处的切线方程？

x五、公式总结

函数

导数

yc

yx

y'0

y'1

yx2

1y

xyx

yf(x)xn(nQ*)

ynx

六、反思总结

y'2x

1y'2

x1y

2x'n1

1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤： ， ， . 2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.。

七、

课后作业

A组求导数

1.y

y

3.x2011 2.y13x2x34.y=2-

B组作业

1.f(x)0的导数是（ ）

A．0 B．1 C．不存在 D．不确定

2.已知f(x)x2,则f(3)（ ）

A．0 B．2x C．6 D．9 3. 在曲线yx2上的切线的倾斜角为的点为（ ）

41111A．(0,0) B．(2,4) C．(,) D．(,)

4162414. 过曲线y上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是 x5. 物体的运动方程为st3，则物体在t1时的速度为 ，在t4时的速度为 .