3.1.1 变化率问题教学设计方案

第十节

变化率与导数、导数的计算

【最新考纲】

1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y1＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝x的导数.4.能利用基本初等函数的导x数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

1．导数的概念

2．基本初等函数的导数公式

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(

) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(

)

(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．(

) (4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

12．某汽车的路程函数是s(t)＝2t3－gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s2时，汽车的加速度是(

) A．14 m/s2

B．4 m/s2

C．10 m/s2

D．－4 m/s2

解析：由题意知，汽车的速度函数为v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，则v′(t)＝12t－g，故当t＝2 s时，汽车的加速度是v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．

答案：A

3．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝(

) A．9

B．6 C．－9

D．－6 解析：y′＝4x3＋2ax，由导数的几何意义知在点(－1，a＋2)处的切线斜率k＝y′|x＝－1＝－4－2a＝8，解得a＝－6.

答案：D 4．(2015·课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________．

解析：∵f′(x)＝3ax2＋1，

∴f′(1)＝3a＋1.

又f(1)＝a＋2，

∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．

∵切线过点(2，7)，

∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.

答案：1

5．(2015·天津卷)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．

1＝a(1＋ln x)．

解析：f′(x)＝aln x＋x·x由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.

答案：3

两种区别

1．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．

2．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．

三点注意

1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．

2．f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0. 3．对含有字母参数的函数要分清哪是变量哪是参数，参数是常量，其导数为零．

一、选择题

31．已知物体的运动方程为s＝t＋(t是时间，s是位移)，则物t2体在时刻t＝2时的速度为(

) 1917A.

B.

441513C.

D.

443313解析：∵s′＝2t－2，∴s′|t＝2＝4－＝. t44答案：D 2．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于(

) A．2

B．0 C．－2

D．－4 解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2，

∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.

答案：D 3．若曲线y＝ax在x＝0处的切线方程是xln 2＋y－1＝0则a＝(

) 1A.

B．2 21C．ln 2

D．ln

2解析：由题知，y′＝axln a，y′x＝0＝ln a，又切点为(0，1)，

1故切线方程为xln a－y＋1＝0，∴a＝.

2答案：A

124．(2017·佛山一中月考)曲线y＝x＋x在点(2，4)处的切线与坐2标轴围成的三角形面积为(

) A．1

B．2 42C.

D.

331解析：∵y＝x2＋x，∴y′＝x＋1，

2∴切线在点(2，4)处的斜率为3，

由直线的点斜式方程可得切线方程为y－4＝3(x－2)，即3x－y－2＝0.

2令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝.

3122所以切线与坐标轴围成的三角形的面积S＝×|－2|×＝.

233答案：D

5．已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(

)

A．－1

B．0 C．2

D．4

1解析：由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，31∴f′(3)＝－，

3∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，

1又由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×－3＝0.

答案：B

16．已知曲线y＝x，则曲线的切线斜率取得最大值时的切线e＋1方程为(

) A．x＋4y－2＝0

B．x－4y＋2＝0 C．4x＋2y－1＝0

D．4x－2y－1＝0 －ex解析：y′＝＝（ex＋1）2－11xx，因为e>0所以e＋x≥1exe＋x＋2e2111xxe×x＝2(当且仅当e＝x，即x＝0时取等号)，则e＋x＋2≥4，eeex－11故y′＝≤－(当x＝0时取等号)．当x＝0时，曲线的切线14ex＋x＋2e11斜率取得最大值，此时切点的坐标为0，2，切线的方程为y－＝－21(x－0)，即x＋4y－2＝0.

4答案：A

二、填空题

7．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1，1)处的切线方程为________．

解析：∵y＝x(3ln x＋1)，

3∴y′＝3ln x＋1＋x·＝3ln x＋4，∴k＝y′|x＝1＝4，

x∴所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3. 答案：y＝4x－3

8．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________．

1解析：因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1.

x因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，

1故其斜率为0，故2a－1＝0，a＝.

21答案：

29．(2015·陕西卷)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．

解析：y′＝ex，曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，111设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－2(x>0)，曲线y＝(x>0)在点xxx1P处的切线斜率k2＝－2(m>0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，m所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1)．

答案：(1，1) 三、解答题

10．求下列函数的导数．

121(1)y＝xnlg x；(2)y＝＋2＋3；

xxx

1x

解：(1)y′＝nx＝xn－1n－11lg x＋x·

xln 10n1(nlg x＋)．

ln 10121(2)y′＝x′＋x2′＋x3′

＝(x－1)′＋(2x－2)′＋(x－3)′

＝－x－2－4x－3－3x－4

143＝－2－3－4.

xxx

211．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)x与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．

2a解：根据题意有f′(x)＝1＋2，g′(x)＝－.

xx曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，

曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a.

所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.

曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为

y－f(1)＝3(x－1)，

得：y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.

曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为

y－g(1)＝3(x－1)．

得y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0.

所以，两条切线不是同一条直线．