3.1.5 空间向量的数量积板书设计

3．1.5

空间向量的数量积

●三维目标

1．知识与技能

(1) 掌握空间向量的定义及数量积公式．(2)掌握空间向量的数量积的坐标运算．(3)掌握向量垂直的充要条件．

(4)掌握向量模长及夹角公式．

2．过程与方法

(1)通过比较平面向量、空间向量的数量积运算，培养学生观察、分析、类比转化的能力．

(2)

通过向量数量积的运算过程，培养学生基本的运算能力．

(3)通过向量数量积的应用，学会向量法探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高学生分析问题、解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观

(1)通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主体的教学模式．(2)通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学的魅力，激发学生学数学、用数学的热情．

●重点难点

重点：空间向量数量积公式及其应用．

难点：如何将几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决几何问题．

(教师用书独具)

●教学建议

向量作为一种基本工具，在数学解题中有着极其重要的地位和作用．利用向量知识，可以解决不少复杂的的代数几何问题．通常，按照传统方法解立体几何题，需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难．用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了

新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高．本节课围绕“提出问题——分析问题——解决问题——应用拓展”的教学模式，让学生从几何体直观感知空间直线所成的角度，在熟练掌握平面向量数量积的基础上理解空间向量数量积的计算公式．这样在教师的引导下学生很容易得知空间向量也是在组成新的平面后进行运算．顺势直接对比分析与前面所学的平面内数量积运算的异同点，并在后续通过学生的自主探究使学生获得知识、形成能力．

●教学流程

回顾平面向量数量积的定义及公式，类比得出空间向量的夹角定义，得出空间向量的数量积的定义、运算公式．要注意类比思维的应用，注意平面向量与空间向量的数量积定义的区别与联系．⇒回顾平面向量数量积的运算性质及运算律，类比得出空间向量的运算性质及运算律．注意向量运算与实数运算的区别，注意数量积运算与数乘运算的区别．数量积的运算性质中蕴含了模与夹角的计算方法，应得出相应公式．⇒空间向量的数量积的坐标表示．在空间直角坐标系中，得出空间向量数量积的坐标公式，从而得出向量垂直的坐标条件，向量夹角与模的坐标公式，从而简化相应计算，⇒通过例1及变式训练，使学生掌握求空间向量数量积的方法与步骤，掌握基向量法与坐标法两种形式的运算规律，比较两种运算方法的优劣．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握空间两向量夹角的求法，一是利用基向量，二是利用坐标法，坐标法更接近实数运算，更易操作．⇒通过例3及变式训练，使学生会利用数量积运算求空间两点间的距离，及求向量的模，关键是用基向量或坐标表示向量．⇒通过例4及变式训练，使学生会利用向量垂直的两个充要条件证明两条直线垂直，从而利用向量法证明空间垂直．⇒通过易错易误辨析，体会向量夹角与数量积的关系，向量夹角的大小决定数量积的正负，向量夹角是共起点时两射线的夹角，弄错就会导致数量积反号．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩力固基本知识，形成基本能.

1.理解空间向量的夹角的概念，理解空间向量的数量积的概课标解读

念、性质和运算律．(重点) 2．掌握空间向量的数量积及应用．(重点、难点) 3．向量夹角与直线所成角的区别．(易错点)

空间向量的夹角

【问题导思】

a，b与b，a相等吗？a，b与a，－b呢？

a，b＝b，a，a，b＝π－a，－b．

【提示】

→→a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与向量b的夹角．记法：向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉，a，b的范围是[0，ππ]，如果〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. 2

空间向量的数量积

设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|·cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

我们规定：零向量与任一向量的数量积为0. a·ba，b＝(a，b是两个非零向量)．

|a||b|a⊥b⇔a·b＝0(a，b是两个非零向量)．

|a|2＝a·a＝a2. 与平面向量一样，空间向量的数量积也满足如下的运算律：

(1)a·b＝b·a；

(2)(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)；

(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

空间向量数量积的坐标表示

若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则

(1)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0(a≠0，b≠0)．

22(3)|a|＝a·a＝x21＋y1＋z1. (4)cos〈a，b〉＝

x1x2＋y1y2＋z1z222222x21＋y1＋z1·x2＋y2＋z2(a≠0，b≠0)．

空间两点间的距离公式

设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝.x1－x22＋y1－y22＋z1－z22

求空间向量数量积

已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：

→→→→→→(1)BC·ED1；(2)BF·AB1；(3)EF·FC1. 【思路探究】

思路一，按基向量法，利用定义计算数量积；思路二，按坐标法，利用坐标运算求数量积．

→→→【自主解答】

法一

如图所示，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. →→1(1)BC·ED1＝b·[(c－a)＋b]＝|b|2＝42＝16. 2→→1(2)BF·AB1＝(c－a＋b)·(a＋c) 2＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. →→111(3)EF·FC1＝[(c－a)＋b]·(b＋a) 22211＝(－a＋b＋c)·(b＋a) 2211＝－|a|2＋|b|2＝2. 24法二

以A为原点，AB，AD，AA1为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

则(1)∵B(2,0,0)，C(2,4,0)，E(1,0,1)，D1(0,4,2) →→∴BC＝(0,4,0)，ED1＝(－1,4,1)，

→→∴BC·ED1＝0×(－1)＋4×4＋0×1＝16. (2)∵B(2,0,0)，F(0,2,2)，A(0,0,0)，B1(2,0,2)，

→→∴BF＝(－2,2,2)，AB1＝(2,0,2)，

→→∴BF·AB1＝－2×2＋2×0＋2×2＝0. (3)∵E(1,0,1)，F(0,2,2)，C1(2,4,2)，

→→∴EF＝(－1,2,1)，FC1＝(2,2,0)，

→→∴EF·FC1＝－1×2＋2×2＋1×0＝2.

1．利用定义求向量数量积的步骤：

(1)选定基底，用基向量表示要求数量积的两个向量；

(2)利用数量积运算法则，进行数量积运算．

2．利用坐标法求向量数量积的步骤：

(1)恰当建立坐标系，求点的坐标；

(2)求向量坐标；

(3)利用数量积的坐标运算求数量积．

图3－1－16

已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于a，如图3－1－16所示，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，求下列向量的数量积：

→→→→(1)AB·AC；(2)AD·BC；

→→→→(3)GF·AC；(4)EF·BC. →→→→【解】

(1)AB·AC＝|AB||AC→→→(2)∵BC＝AC－AB，

→→→→→∴AD·BC＝AD·(AC－AB) →→→→＝AD·AC－AD·AB. →→又∵|AD|＝|BC|＝a，→→→→AD，AC＝AD，AB＝60°，

→→1a2AB，AC＝a×a×＝. 22

→→a2a2∴AD·BC＝－＝0. 22(3)∵G，F分别为CD，AD的中点，

→1→1→∴GF＝CA＝－AC. 22→→1→2∴GF·AC＝－AC. 2→22→→1∵AC＝a，∴GF·AC＝－a2. 2(4)∵E，F分别为AB，AD的中点，

→1→∴EF＝BD. 2→→1→→11a2∴EF·BC＝BD·BC＝×a×a×＝. 2224

利用数量积求夹角

→→

如图3－1－17，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求向量BC1与AC的夹角的大小．

图3－1－17 【思路探究】

思路一，利用基向量；思路二，利用坐标法．

【自主解答】

法一

基向量法

设正方体的棱长为1. →→→→→→BC1·AC＝(BC＋CC1)·(AB＋BC) →→→→＝(AD＋AA1)·(AB＋AD) →→→2→→→→＝AD·AB＋|AD|＋AA1·AB＋AA1·AD

→2＝0＋|AD|＋0＋0 →2＝|AD|＝1，

→→又|BC1|＝2，|AC|＝2，

∴→→→→BC1·AC11BC1，AC＝＝＝. →→2·22|BC1||AC|→→∵BC1，AC∈[0°，180°]，

→→∴BC1，AC＝60°，

→→即向量BC1与AC的夹角的大小为60°. 法二

坐标法

如图，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，

∵A(0,0,0)，C(1,1,0)，B(1,0,0)，C1(1,1,1)，

→→∴AC＝(1,1,0)，BC1＝(0,1,1)，

∴→→1，1，0·0，1，11BC1，AC＝＝. 22×2→→∴BC1，AC＝60°.

1．通过以上两法可以看出，如果较易建立空间直角坐标系，坐标法优于基向量法，计算更快捷，叙述过程更简洁．

2．两向量夹角的范围是[0，π]，利用夹角公式求出余弦值为正值时(不为1)，夹角为锐角；余弦值为负值时(不为－1)，夹角为钝角；余弦值为－1时，夹角为180°；余弦值为1时，夹角为0°.

图3－1－18

如图3－1－18所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E1，F1分别是A1B1，C1D1的一个

→→四等分点，求BE1，DF1夹角的余弦值．

→→→【解】

如图所示，不妨设正方体的棱长为1，以DA，DC，DD1为单位正交基底，建31立空间直角坐标系D－xyz，则D(0，0,0)，B(1,1,0)，E1(1，，1)，F1(0，，1)．

44

→→→3111所以BE1＝(1，，1)－(1,1,0)＝(0，－，1)，DF1＝(0，，1)－(0,0,0)＝(0，，1)，则|BE14444|＝→122170＋－＋1＝，|DF1|＝4421217→→1120＋＋1＝，BE1·DF1＝(0，－，1)·(0，，4444211151)＝0×0－×＋1×1＝. 4416→→BE1，DF115→→16BE1·DF115＝＝＝. →→171717×|BE1||DF1|44所以→→15因此，BE1与DF1夹角的余弦值是. 17

利用数量积求距离

如图3－1－19所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．

图3－1－19 →→【思路探究】

求B，D间的距离可以转化为求向量BD的模，但向量BD的模直接求解较难，可以转化为其他向量，注意到折起后AB与AC，CD与AC的垂直关系没有发生改变，从而可以充分利用这种关系求解．

→→→→【自主解答】

∵∠ACD＝90°，∴AC·CD＝0.同理可得AC·BA＝0. →→→→∵AB与CD成60°角，∴BA，CD＝60°或BA，CD＝120°，

→→→→→2→2→2→2→→→→→→又BD＝BA＋AC＋CD，∴|BD|＝|BA|＋|AC|＋|CD|＋2BA·AC＋2BA·CD＋2AC·CD＝3＋2×1×1×→→BA，CD．

→→→2∴当BA，CD＝60°时，|BD|＝4，此时B，D间的距离为2；

→→→当BA，CD＝120°时，|BD|2＝2，此时B，D间的距离为2.

→→1．应注意BA，CD应有两种取值60°或120°，不应只误为60°，而不进行分类讨论．

2．利用空间向量求线段的长度或两点间的距离的步骤如下：(1)结合图形将所求线段用相应向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；(3)利用|a|＝a2求出|a|，即得所求线段的长度或两点间的距离．

如图3－1－20，已知平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求PC的长．

图3－1－20 →→→→【解】

∵PC＝PA＋AD＋DC，

→2→2→→→2∴|PC|＝PC＝(PA＋AD＋DC)

→→→→→→→→→＝|PA|2＋|AD|2＋|DC|2＋2PA·AD＋2PA·DC＋2AD·DC

→→＝6＋4＋3＋2|AD||DC|cos 120°＝61－12＝49，

222∴PC＝7.

利用数量积证垂直

图3－1－21

如图3－1－21所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M是A1B1的中点．求证：A1B⊥C1M. 【思路探究】

结合直三棱柱的特点建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，表示出→→A1B，C1M，进行数量积的坐标运算即可．

→→→【自主解答】

如图所示，以CA，CB，CC1为正交基底，建立空间直角坐标系C－xyz. →11依题意得B(0,1,0)，A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B1(0,1,2)，则M(，，2)，于是A1B＝(－1,1，22→11－2)，C1M＝(，，0)，

22→→11∴A1B·C1M＝－＋＋0＝0，

22→→∴A1B⊥C1M，故A1B⊥C1M.

→→→1．本例也可以CA，CB，CC1为基向量证明结论，不妨一试，证明从略．

2．利用数量积证明空间垂直，以算代证，较为方便．

图3－1－22

如图3－1－22，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PB与底面所成的角是30°，∠BAD＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝a，AB＝2a.若AE⊥PB于E，求证：DE⊥PB. 【证明】

以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x轴、

y轴、z轴建立空间直角坐标系．

∵PA⊥平面ABCD，

∴∠PBA是PB与底面ABCD所成的角，

23∵∠PBA＝30°，∴PA＝a. 3∴A(0,0,0)，B(2a,0,0)，

23D(0，a,0)，P(0,0，a)．

3→→23∴AD＝(0，a,0)，PB＝(2a,0，－a)．

3→→23∵AD·PB＝(0，a,0)·(2a,0，－a)＝0，

3→→→→∴PB⊥AD.又PB⊥AE，

∴DE.→PB⊥平面ADE，∴PB⊥

弄错向量的夹角而致错

图3－1－23

如图3－1－23所示，在空间四边形ABCD中，每条边的长度和两条对角线的→→长度都等于1，M，N分别是AB，AD的中点，求MN·DC. →→1→→【错解】

MN·DC＝BD·DC

21→→＝|BD||DC211＝cos 60°＝. 24→→→→【错因分析】

本题错误的原因是误认为BD，DC＝60°，而实际上BD，DC＝120°. 【防范措施】

求两个向量的夹角时，要注意向量夹角的顶点必须是向量的共同的起点，如果没有公共起点，要把其中一个向量平移，使其有公共起点，然后再求．

→→1→→【正解】

MN·DC＝BD·DC

21→→＝|BD||DC2→→BD，DC

→→BD，DC

11＝cos 120°＝－. 24

1．两向量的数量积是一个实数，而非向量，计算时有两种方式：(1)定义法．(2)坐标法．利用定义法时，注意向量的夹角不要弄错．

2．利用向量的数量积运算可以计算向量的模及夹角，即|a|＝a·a＝a2，a·b＝，从而求空间线段的长及空间角的大小．

|a||b|3．两向量垂直的充要条件应用广泛，应注意该条件的双向应用，以此论证空间垂直问题.a，b

1．下列各命题中，正确的命题有________．

①a·a＝|a|；

②m(λa)·b＝(mλ)a·b(m、λ∈R)；

③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；

④a2b＝b2a；

⑤a2＝|a|2. 【解析】

根据向量数量积定义可推得①②③⑤均正确，而④中，左边＝a2b＝|a|2·b，右边＝|b|2·a，显然当a，b不同向时一定不会相等，故④错．

【答案】

①②③⑤

2．若a＝(0,2，－2)，b＝(1，－1,1)，则a·b＝________. 【解析】

a·b＝(0,2，－2)·(1，－1,1)＝0×1＋2×(－1)＋(－2)×1＝－4. 【答案】

－4 83．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b夹角的余弦值为，则λ＝________. 9【解析】

∵a·b＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，

285＋λ2885＋λ又∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝5＋λ×9×＝，∴＝6－λ，解得λ＝－933222或. 552【答案】

－2或

554．已知向量a＝(1，－2,4)，向量b满足以下三个条件：

(1)a·b＝0；

(2)|b|＝10；

(3)b与向量c＝(1,0,0)垂直．

试求向量b. 【解】

设b＝(x，y，z)，

∵a·b＝0，∴x－2y＋4z＝0，①

∵|b|＝10，∴x2＋y2＋z2＝100.②

∵b⊥c，∴b·c＝0，∴x＝0.③

联立①②③解得y＝4z＝2∴2b＝(0,45，x＝055

2或y＝－4z＝－25)x＝055或

b＝(0，－45，－).5

一、填空题

1．下列结论中正确的序号是________．

①a·b＝a·c(a≠0)⇒b＝c；

②a·b＝0⇒a＝0或b＝0；

③(a·b)·c＝a·(b·c)；

④a·(λb)＝λ(a·b)；

⑤若a·b<0，则a，b的夹角为钝角．

【解析】

根据数量积的运算律可知④正确．①任取与a垂直的两个向量作为b，c，都能保证此等式成立，所以b＝c不一定成立；②只要a⊥b，a＝0，b＝0有一个成立时，就有a·b＝0，所以a＝0或b＝0不一定成立；③当a，c不共线时，此结论不成立；⑤当a，b反向共线时，a，b的夹角为π，a·b<0也成立，故不正确．

【答案】

④

2．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝________. 【解析】

a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b1【答案】

23．(2013·哈师大附中高二检测)已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是________．

【解析】

∵(ka＋b)⊥(2a－b)，

∴(ka＋b)·(2a－b)＝0，

∴2ka2＋(2－k)a·b－b2＝0，

7∴2k×2＋(2－k)(－1)－5＝0，∴k＝. 57【答案】

54．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝________. 【解析】

∵p＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)，

q＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)，

∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1. 【答案】

－1 5．|a|＝2，|b|＝3，a，b＝60°，则|2a－3b|＝________. 1a，b＝1＋1×1×cos 120°＝. 2【解析】

a·b＝2×3·cos 60°＝3，

∴|2a－3b|＝4a2－12a·b＋9b2

＝4×22－12×3＋9×32＝61. 【答案】

61 6．(2013·广州高二检测)已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．

【解析】

∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b) ∴a·b＋b·c＋c·a＝a·b＋(a＋b)·c

＝a·b－c2＝a·b－16 ∵c＝－(a＋b)，∴|c|2＝a2＋2a·b＋b2，

∴a·

b＝3，

∴原式＝3－16＝－13. 【答案】

－13 7．已知|a|＝2，|b|＝3，a⊥b，(3a＋2b)⊥(λa－b)，则λ＝________. 【解析】

∵a⊥b，∴a·b＝0，又(3a＋2b)⊥(λa－b)，

3∴(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝12λ－18＝0，解得λ＝. 23【答案】

2→→→→8．(2013·潍坊高二检测)设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD→→＝0，AB·AD＝0，则△BCD是________三角形(填“钝角”、“锐角”或“直角”) →→→→→→→→→→→→→→【解析】

∵BD＝AD－AB，BC＝AC－AB，∴BD·BC＝(AD－AB)·(AC－AB)＝AD·AC－→→→→→2→2AD·AB－AB·AC＋|AB|＝|AB|>0，

∴cos∠CBD＝→→→→BC·BDBC，BD＝>0，则∠CBD为锐角．同理，∠BCD与∠BDC→→|BC||BD|均为锐角，

∴△BCD为锐角三角形．

【答案】

锐角

二、解答题

→→9．如图3－1－24所示，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设AB＝a，AD→＝b，AA′＝c，求：

→→(1)AC′·DB′，→→(2)BD′·AD. →→AC′，DB′；

图3－1－24 →→【解】

(1)由题意知AC′·DB′＝(a＋b＋c)·(a－b＋c)＝a2＋c2＋2a·c－b2＝1，易得→→|AC′|＝3，|DB′|＝3，故→→→→AC′·DB′1AC′，DB′＝＝. 3→→|AC′||DB′|→→(2)BD′·AD＝(b＋c－a)·b＝b2＋b·c－b·a＝1. 10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AB，BC上的动点，且AM＝BN.

求证：A1N⊥C1M.

【证明】

如图所示，建立空间直角坐标系D－xyz，不妨设正方体的棱长为1，设AM＝BN＝x(0≤x≤1)，则M(1，x,0)，N(1－x,1,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)．

→→∴A1N＝(－x,1，－1)，C1M＝(1，x－1，－1)，

→→∴A1N·C1M＝(－x,1，－1)·(1，x－1，－1)＝－x＋x－1＋1＝0，

→→∴A1N⊥C1M，即A1N⊥C1M. 33xxπ11．已知向量a＝(cos x，sin x,0)，b＝(cos ，－sin ，0)，且x∈[0，]，求：

22222(1)a·b及|a＋b|；

3(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求实数λ. 2

3x3x【解】

(1)a·b＝cos xcos －sin xsin ＝cos 2x，

2222|a＋b|＝

3x3xcos x＋cos 2＋sin x－sin 2

2222＝2＋2cos 2x＝4cos2x＝2cos x. (2)由(1)知，f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos 2x－2λ·2cos x＝2cos2x－4λcos x－1＝2(cos x－λ)2π－2λ2－1.∵x∈[0，]，

2∴cos x∈[0,1]，则

当λ≤0时，f(x)min＝－1，与题意矛盾，舍去；

3当0＜λ＜1时，f(x)min＝－2λ2－1＝－，

21∴λ＝；

23当λ≥1时，f(x)min＝1－4λ＝－，

25解得λ＝，不满足λ≥1，舍去．

81综上，实数λ的值为. 2

(教师用书独具)

→→已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，设a＝AB，b＝AC. (1)求a和b的夹角θ的余弦值；

(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．

【思路探究】

(1)利用向量夹角公式较易求解；(2)逆用两向量垂直的充要条件，列出关于k的方程．

【自主解答】

(1)∵A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，

→→∴AB＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)，AC＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)，

∴a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)．

1×－1＋1×0＋0×2a·bcos θ＝＝2

|a||b|1＋12＋02·－12＋02＋22＝－110＝－. 101010. 10∴a和b的夹角θ的余弦值为－(2)∵ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，

ka－2b＝k(1,1,0)－2(－1,0,2)＝(k＋2，k，－4)，

又(ka＋b)⊥(ka－2b)，

∴(ka＋b)·(ka－2b)＝(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0，5解得k＝－或k＝2. 2

1．要熟记向量夹角公式及向量的垂直的坐标表示形式，第(2)问也可以按向量数量积的5运算律求解，即(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝0，解得k＝－或k＝2. 22．向量数量积的应用很多，尤其是向量的垂直可以用来证明空间两直线的垂直，也可

以利用垂直反求待定系数的值．

已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．

→→(1)求以AB、AC为边的平行四边形的面积；

→→(2)若|a|＝3，且a分别与AB、AC垂直，求向量a. →→【解】

(1)AB＝(－2，－1,3)，AC＝(1，－3,2)，

→→－2＋3＋6AB·AC1cos A＝＝＝，

→→4＋1＋9·1＋9＋42|AB|·|AC|∴sin A＝→→3.∴S平行四边形＝|AB||AC|sin A＝73. 2→→∴以AB、AC为边的平行四边形的面积为73. －2x－y＋3z＝0，(2)设a＝(x，y，z)，由题意，得x－3y＋2z＝0，x2＋y2＋z2＝3.x＝1，解得y＝1，z＝1，

x＝－1，或y＝－1，z＝－1.

∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1).