2.2.1 椭圆的标准方程优质课教案设计

椭圆的标准方程

江苏省淮阴中学

卢连伟

教学目标：

1.通过实例回顾椭圆的定义；

2.理解椭圆的标准方程的推导，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力；

3.让学生在建立椭圆的标准方程过程中感受椭圆的美，掌握多种数学思想方法；

4.掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。

教学重点：建立椭圆的标准方程

教学难点：

1、如何建立椭圆的标准方程；

2、如何化简两个根式和为常数的方程

教学手段：合作探究

教学过程：

一、

引入：

在一首红遍大江南北的《爸爸去哪儿》歌声中给出：

《爸爸去哪儿》节目中，安排了如下游戏：在一个椭圆形场地上，参赛小朋友站在椭圆的一个焦点处，爸爸被随机安排突然出现在椭圆上某点处，小朋友发现爸爸后先快速跑到爸爸所在位置，然后再跑向另一个焦点，用时少者获胜。考验孩子的反应能力与奔跑速度。

问题1：

这种游戏设计的原理是什么？

问题2：在游戏中，小朋友所跑的路程与两焦点间的距离有什么关系？

【设计意图】：回顾椭圆的定义：

一般地，平面内到两个定点F1

，F2的距离的和等于常数（大于F1 F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1

，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

可用数学表达式表示为：PF1PF22a(2a>F1F2)

二、

椭圆标准方程的建立

师：知道了椭圆方程的数学定义，为了更深入地研究椭圆，我们希望知道椭圆的什么？

生：椭圆的标准方程。

师：接下来我们一起来推导椭圆方程是什么？

师：前面的课，同学们学过了“曲线与方程”，现在请同学们回忆一下，求

曲线方程的一般步骤是什么？

生：回答出求曲线方程的五个步骤。

师：求曲线方程的一般步骤通常可以归纳为：“建系，设点，列式，化简”。曲线方程的目的是为了用代数的方法深入研究几何问题。结合椭圆的几何特征，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程简单？我们来类比圆的标准方程。

生：以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。

师：理论上，怎么建系都能得出椭圆方程，但建系一般以“简洁、对称”为好，这样得到的方程形式会更简单。（展示幻灯片）

建立适当的直角坐标系：以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示坐标系；

设点：设P（x,y）是椭圆上的任意一点， F1F22c,F1(c,0),F2(c,0)；

P yF1

F2x根据条件PF1PF22a，得(xc)2y2(xc)2y22a；

师：如何化简？

（小组讨论3分钟）

生1：两边直接平方或者移一个根式到式子右边再平分

生2：还可以分子有理化

生3：利用前面学过的等差中项，想到令一个根式为a+d,另一个根式为a-d 师：非常好！下面请大家利用上面的四种方法中的一种进行化简。

（将全班分为4个小组，每组指定一种方法，大约4分钟时间，然后展示成果）

方法1：将原式直接平方：

方法2：将一个根式移到式子右边再平方：

方法3：分子有理化：

方法4：构造等差中项：

x2y21，为了让式子更加简洁，令师：通过以上化简方法我们都得到了：22aac2x2y2acb(b0)，则221，这里b有什么几何意义？a与b大小关系如何？

ab222生：b为椭圆宽度的一半，ab0。

x2y2师：很好! 我们把方程221（ab0）称为焦点在x轴上的椭圆的标准方程。

ab三、

其它方法推导椭圆的标准方程

方法二：待定系数法

师：还有别的方法得到椭圆的标准方程吗？（展示幻灯片）根据上面的建系方式，如果一个椭圆满足：PF1 + PF2 =2a (2a>2c)

，F1、F2的坐标分别

是(c,0)、(c,0) ，则这个椭圆

关于x轴，y轴及原点对称，且不过原点，结合圆的方程，联想二元二次方程Ax2By2CxyDxEyF0何时表示满足这样的椭圆？

生：C=D=E=0，A、B、F都不为零。

师：很好！因为如果点（x,y）在椭圆上，则（x,-y）（-x,y）（-x,-y）都在椭圆上，那么就有：

Ax2By2CxyDxEyF022AxByCxyDxEyF0对任意x,y都成立，

22AxByCxyDxEyF0Ax2By2CxyDxEyF0通过对式子简单变形可以得到C=D=E=0，A、B、F都不为零。

故可设方程为AxByF0(ABF0)

由于椭圆与坐标轴的交点为(0,a2c2),(0,a2c2),(a,0),(a,0).带入上式，得：

22FA22x2y2B(ac)F0a22221

2FaacAaF0Ba2c2x2y21有点猜想的味道，所以不禁要问，方程师：上面的轨迹方程22aac2x2y2221表示的是以F1(c,0)、F2(c,0)为焦点的椭圆吗？

2aac生：可以证明：即验证适合上述方程的点P都满足椭圆的定义：PF1 + PF2 =2a (2a>2c)

. x02y02x2y21设（则2221

Px0，y0）a2a2c2aac

PF1（x0+c)+y022x02（x0+c)+(ac)(12)a222c222x+2cx+a00a2|accx0|ax0

aa22222x02c22cc同理PF2（x0-c)+y0（x0-c)+(ac)(12)2x0-2cx0+a2|ax0|ax0aaaaPF1PF22a.

方法三：引进参数

师：还有别的方法得到椭圆的标准方程吗？（展示幻灯片）老师在作图中发现：如果一个椭圆满足：PF1 + PF2 =2a (2a>2c)

，F1、F2的坐标分别

是(c,0)、(c,0) .如果以原点为圆心，a为半径作一个大圆，ac为半径作一个小圆，由原点出发作一条射线分别交大圆和小圆于点M、N，过M作X轴的垂线，垂足为Q，过N作MQ垂线，垂足为P，发现点P总是在已知椭圆上（教师现场制作几何画板并演示）。22你能据此推导椭圆的标准方程吗？

生：可以。点P的运动是由于点M的运动导致的，点M的运动又是由于MOx变化导致的，因此可以设MOx(02)，用表示点P的坐标，然后消去参数，找出x，y关系即可。

师：很好。M

（acos,asin），N（a2c2cos,a2c2sin），xacos,22yacsinx2y21

cossin122aac222x2y21表示的是以F1(c,0)、F2(c,0)为焦同样，我们可以根据方法二证明方程22aac2点的椭圆.

椭圆的标准方程的建立，还有很多方法，同学们课后可以继续研究，本节课我们就用这三种x2y2方法推导出了焦点在x轴上的椭圆的标准方程：221（ab0），那么对于焦点ab在y轴上的椭圆的标准方程，同学们课后自己去研究。

四、应用拓展、提高能力

求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)a=6,b=1,焦点在x轴上；

(2)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过点P(2,3). 五、回顾反思、提升经验

本节课你学到了什么？

1、推导了焦点在x轴上的椭圆的标准方程；

方法1：用椭圆的定义，建系、设点、列式、化简；

方法2：猜想椭圆的方程，求出待定系数，证明方程表示的曲线是椭圆；

2、巩固了数学思想方法：

方程思想、化归思想、数形结合思想、合情推理思想

六、作业：

1、完成课本对应习题；

2、自己研究其它推导椭圆的标准方程的方法；

3、推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程。

七、板书设计

椭圆的标准方程

思想方法：1. 1、

回顾椭圆的定义：

2. 2、

椭圆的标准方程的推导

3. 法一、用定义

(xc)2y2(xc)2y22a

化简方法:1.

2.

3.

4. 法二、待定系数法

法三、引进参数

八、多媒体技术使用

1、本节课采用苏州点通教育科技有限公司研发的“点通互动课堂”软件，借助本软件可以随机向学生提问，学生在平板上书写的内容可以随时被教师展示在投影屏上，方便随时查阅，还可以及时统计学生的客观题正确率，大大提高了课堂效率！

2、在椭圆标准方程推导的方法三中，教师现场使用几何画板作出椭圆的动画生成，更加形象直观。

九、教学反思：

本节课是在学习了椭圆的定义之后推导椭圆标准方程的第一节课，不拘泥于课本的一种方法推导椭圆的标准方程，利用三种方法推导了椭圆的标准方程，对学生以后遇到新知的探索欲望有强烈的引导作用。