2.2.1 椭圆的标准方程教学设计第一课时

2.2.1

椭圆的标准方程

●三维目标

1．知识与技能

进一步理解椭圆的定义；掌握椭圆的标准方程，理解椭圆标准方程的推导；会根据条件写出椭圆的标准方程；能用标准方程判定是否是椭圆．

2．过程与方法

(1)通过寻求椭圆的标准方程的推导，帮助学生领会观察、分析、归纳、数形结合等思想方法的运用．

(2)在相互交流学习中，使学生养成表述、抽象、总结的思维习惯，逐步培养学生在探索新知的过程中进行合作推理的能力及应用代数知识进行同解变形和化简的能力．

3．情感、态度与价值观

在平等的教学氛围中，让学生体验数学学习的成功与快乐，增加学生的求知欲和自信心，培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维能力，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度．

●重点难点

重点：标准方程的推导及椭圆的判断．

难点：椭圆标准方程的推导及应用．

【问题导思】

1．给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张硬纸板，你能画出椭圆吗？

【提示】

固定两个图钉，将绳子两端固定在图钉上且绳长大于图钉间的距离，用笔尖把绳子拉紧，使笔尖在纸板上移动就可以画出一个椭圆．

2．求曲线的方程通常分为几步？

【提示】

四步：建系、设点、列式、化简．

标准方程

焦点在x轴上

x2y2＋＝1 a2b2(a＞b＞0)

焦点在y轴上

y2x2＋＝1 a2b2(a＞b＞0) 图象

焦点坐标

a，b，c的关系

(－c,0)，(c,0)

a2＝b2＋c2

(0，－c)，(0，c)

1

例1：

求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)焦点坐标分别为(－3,0)，(3,0)，且椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10；

35(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，并且过点(－，)．

22【思路探究】

(1)由焦点坐标和椭圆定义分别求出c，a，代入b2＝a2－c2求出b2即可；(2)本题有两种思路：一是先由焦点坐标和椭圆定义分别求出c，a，再求解；二是将点的坐标代入椭圆方程，结合b2＝a2－c2求解．

x2y2【自主解答】

(1)由题意，设椭圆的标准方程是2＋2＝1(a>b>0)，则2c＝6,2a＝10，所以a＝5，c＝3.abx2y2由a＝b＋c，得b＝16，所以椭圆的标准方程是＋＝1. 25162222y2x2(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．

ab法一

由椭圆的定义知2a＝

2235－－02＋＋22＋

22235－－02＋－22＝210，所以a＝10. 22y2x2又由题意知c＝2，所以b＝a－c＝10－4＝6.因此，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 10635259法二

因为所求椭圆过点(－，)，所以2＋2＝1.又a2－b2＝c2＝4，解得a2＝10，b2＝6，故所求椭圆224a4by2x2的标准方程为＋＝1. 106规律方法

1．在本例(2)的解答中，利用椭圆定义求a较为简洁，也是我们常用的一种方法．

2．在已知椭圆的类型求椭圆的标准方程时，一般采用待定系数法求解，步骤如下：

(1)根据已知条件判断焦点所在的坐标轴，设出对应的标准方程；

(2)将已知条件代入，求出a，b(注意隐含条件a2＝b2＋c2，a>b>0)，此时注意椭圆定义的应用；

(3)写出椭圆的标准方程．

其主要步骤可归纳为“先定型，再定量”．

变式训练：求经过点M(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同焦点的椭圆方程．

x2y2【解】

法一

已知椭圆方程可化为＋＝1，∴c＝5，∴F1(0，－5)，F2(0，5)，∴2a＝MF1＋49x2y2MF2＝215，∴a＝15，∴b＝a－c＝10，∴椭圆方程为＋＝1. 1015222x2y2法二

椭圆9x＋4y＝36的焦点为(0，±5)，则设所求椭圆的方程为＋＝1(λ>0)．

λλ＋52249又椭圆过点(2，－3)，∴＋＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)．

λλ＋5x2y2∴所求椭圆方程为＋＝1. 1015例2：(1)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围；

2

x2y2(2)已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F243的面积．

图2－2－1 【思路探究】

(1)化为标准方程→由条件列不等式→求k的范围

(2)PF1·PF2面积PF1＋PF2＝4―→由定义PF1，PF2，F1F2关系―→由余弦定理

x2y2【自主解答】

(1)原方程可化为＋＝1，∵表示焦点在y轴上的椭圆．

22kk>0，∴2解得02.k(2)由题意知a＝2，b＝3，c＝a2－b2＝4－3＝1，∴F1F2＝2c＝2，

2在△PF1F2中有，PF1＋PF2＝4，

PF2PF2·cos 60°＝F1F21＋PF2－2PF1·2，

即(PF1＋PF2)2－3PF1·PF2＝4，

①代入②得PF1·PF2＝4，

113∴S△PF1F2＝PF1·PF2·sin 60°＝×4×＝3. 222规律方法

x2y21．对于方程＋＝1，当m>n>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当n>m>0时，方程表示焦点在ymn轴上的椭圆．特别注意，当n＝m>0时，方程表示圆心在原点的圆．

2．椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．

变式训练：

(1)已知方程(2－k)x2＋ky2＝2k－k2表示焦点在x轴上的椭圆，求实数k的取值范围．

x2y2(2)如图2－2－2所示，点P为椭圆＋＝1上一点，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F243的面积．

3

图2－2－2 x2y2【解】

(1)由(2－k)x＋ky＝2k－k表示椭圆，知2k－k≠0，且有＋＝1. k2－k2222∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，∴k>2－k>0，即1

故实数k的取值范围是1

22在△PF1F2中，由余弦定理，得PF2F1F2·cos 120°，

2＝PF1＋F1F2－2PF1·2即PF22＝PF1＋4＋2PF1，

①

由椭圆定义，得PF1＋PF2＝4，

即PF2＝4－PF1，

6②代入①解PF1＝. 5116333∴S△PF1F2＝PF1·F1F2·sin 120°＝××2×＝. 22525例3：

△ABC的三边a，b，c成等差数列，且a＞b＞c，A，C的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B的轨迹方程．

【思路探究】

利用椭圆定义分析出B点的轨迹是椭圆，再利用待定系数法求解．

【自主解答】

由已知得b＝2，又a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b＝4，即AB＋BC＝4，

∴点B到定点A、C的距离之和为定值4，由椭圆定义知B点的轨迹为椭圆的一部分，设椭圆的标准方程x2y22为2＋2＝1(a′>b′>0)．其中a′＝2，c′＝1.∴b′＝3. a′b′x2y2又a＞b＞c，∴顶点B的轨迹方程为＋＝1(－2＜x＜0)．

43规律方法

1．本例解答过程中，不要忽略a>b>c这个条件，而误认为轨迹为整个椭圆．

2．解答与椭圆有关的求轨迹问题的一般思路是：

②

4

变式训练：已知动圆与定圆C：x2＋y2＋4y－32＝0内切且过定圆内的一个定点A(0,2)，求动圆圆心P的轨迹方程．

【解】

由定圆C：x2＋(y＋2)2＝36知，圆心C(0，－2)，半径r＝6，设动圆圆心P(x，y)，动圆半径为PA，由于圆P与圆C相内切，

∴PC＝r－PA，即PA＋PC＝r＝6>AC. 因此，动圆圆心P到两定点A(0,2)，C(0，－2)的距离之和为6，

∴P的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且2a＝6,2c＝4，即a＝3，c＝2，

y2x2∴b＝5.∴所求动圆圆心P的轨迹方程为＋＝1. 952易错辨析

x2y2典例：已知椭圆的标准方程为＋2＝1(m>0)，并且焦距为6，求m的值．

25m【错解】

∵2c＝6，∴c＝3，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2. ∵a2＝b2＋c2，∴25＝m2＋9，∴m2＝16.又m>0，故m＝4. 【错因分析】

椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看x2和y2项分母的大小，如果x2项的分母大于y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上．由于本题中x2和y2项分母的大小不确定，因此需要进行分类讨论．

【防范措施】

涉及椭圆方程的问题，如果没有指明椭圆焦点所在的位置，一般都会有两种可能的情形，不能顺着思维的定式，想当然地认为焦点在x轴或y轴上．

【正解】

∵2c＝6，∴c＝3. (1)当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2. ∵a2＝b2＋c2，∴25＝m2＋9，∴m2＝16. 又m>0，故m＝4. (2)当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25. ∵a2＝b2＋c2，∴m2＝25＋9＝34.又m>0，故m＝34. 由(1)(2)可得m的值为4或34. 课堂小结

1．求椭圆的标准方程，主要采用待定系数法，一般“先定型”即先确定标准形式，“再定量”即由题目条件求基本量a，b，c，求解过程中，要注意定义的应用．

2．对方程带有字母系数的椭圆，其焦点在哪个坐标轴上要由字母的取值范围确定，必要时要进行分类讨论．

5

3．求与椭圆有关的轨迹问题，常见的直接法、代入法、参数法等都同样可用，除此以外，还要注意利用椭圆的定义求解轨迹问题. 当堂双基达标

1．动点P到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离的和为10，则动点P的轨迹方程是________．

x2y2【答案】

＋＝1 2516x2y22．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为________．

3625【答案】

9 x2y23．若方程k－3＋5－k＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．

【答案】

(3,4)∪(4,5) x2y24．设P是椭圆25＋16＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于________．

【答案】

10

6