正多边形的有关计算优秀教案

正多边形的有关计算

【基础知识精讲】

一、定理: 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形. 二、正多边形有关计算

(n2)180n(1)正n边形角的计算公式：①每个内角等于(n为大于或等于3的整数)；②每个外角360＝每个中心角＝n.

(2)正n边形的其他有关计算，由于正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素之间的关系，所以，可以把正n边形的计算转化为解直角三角形的问题，这个直角三角形的斜边为外接圆半径R，一条直角边是边心距rn，另一条直角边是an边长a的一半(即2n18090)；两个锐角分别为中心角的一半(即n)和一个内角的一半(即n)或(即18090°-n).

【重点难点解析】

重点是把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形问题.难点是通过作正n边形的半径和边心距把正多边形的问题转化为解直角三角形的问题.

例1.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.

360(n2)180n解：设此正多边形的边数为n，则各内角为，外角为n，依题意得：(n2)180360n-n＝100°.

解得n＝9

答：这个正多边形的边数为9.

例2.如图7-42，已知：正三角形ABC外接圆的半径为R，求它的边长，边心距、周长和面积.

解：连结OB，过O作OM⊥BC于M

180∴∠BOM＝3＝60°，∴∠OBM＝30°

1∴OM＝22

1OB＝22R，∴γ3R＝2

BM＝OBOM＝RR2()223R 3R ＝32R

∴a3＝BC＝2BM＝

∴P3＝3a3＝3

∴S3＝3S△BOC1＝3×2R3R·233＝4R2

例3.一个正三角形和一个正六边形的面积相等，求它们边长的比.

解：如图7-43，设O，O′分别是正三角形ABC，正六边形EFGHIJ的中心，分别作OD⊥BC于D，作O′K⊥GH1801于K，连OB，O′G，则在Rt△ODB中，∠BOD＝3＝60°，BD＝2a3，

∴r3＝OD＝BD·ctg60°＝36a3，

∴S3＝6S△ODB1＝6×2BD·OD

1

＝6×21×2a3×36a3＝34a3. 2

1801在Rt△O′KG中，∠GO′K＝6＝30°，GK＝2a6

∴r6＝O′K＝GK·ctg30°＝32a6

∴S6＝12S△O′GK1＝12×2×GK×O′K

1 ＝12×21×2a3×23332a＝26a6

2

∵S3＝S6，

∴34a2333＝23＝2a6

2

2a52a6∴2a52a6∴，

＝32，即a3∶a2＝

62

例4.求证：正n边形的面积Sn等于其周长Pn与边心距rn的积的一半.

证明：如图7-44，设⊙O是正n边形ABC…的内切圆，其中AB与⊙O相切于D，连OA，OD，OB，知OD⊥AB且OD＝rn，∴S△OAB1＝21·AB·OD＝2Pn·n·rn.

∵正n边形有n个如同△OAB的等腰三角形，

∴Sn＝nS△OAB1＝n·2Pn·n1·r＝2nPnrn.

【难题巧解点拨】

例1.已知：如图7-45，⊙O半径为R，求⊙O内接正八边形的边长a8，边心距r8和中心角.

解：连结OA、OB，并作OK⊥AB于点K，

中心角α360＝∠AOB＝8＝45°

1在Rt△AOK中，∠AKO＝90°，OA＝R，∠AOK＝2

∴AK＝0.3827R

∴a8＝AB＝2AK＝0.7654R α＝22.5°

故AK＝OA×sin∠AOK＝R·sin22.5°，

r8＝OK＝OA·cos∠AOK＝R·cos22.5°＝0.9239R

〔说明〕(1)正多边形的半径、边心距和边长的一半组成的一个直角三角形，有关正多边形的计算常常归结为解这个直角三角形.

(2)若正n边形的半径为R，则它的中心角α360＝n，

180180边长a＝2R·sinn，边心距r＝R·cosn. na

例2.已知如图7-46，等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积.

解：设BC切⊙O于M，连OM，OB，则OM⊥BC，

180在Rt△OMB中，∠BOM＝3＝60°

1BM＝21BC＝2

a

1OM＝BM·ctg∠BOM＝2a·ctg60°＝36a

连结OE，作ON⊥EF于N，

则OE＝OM＝36a

1803在Rt△ONE中，∠EON＝4＝45°，OE＝6a

∴EN＝OE·sin∠EON＝326a·2＝612a

∴EF＝2EN＝6666a

∴S正方形DEFG＝EF＝(2a2a)＝62

〔说明〕解这类问题是正确画出图形，构造直角三角形，在本题中，由于正三角形内切圆O的半径既是正三角形的边心距，又是正方形的半径，所以求出⊙O的半径是个突破口.

【课本难题解答】

1例.已知：半径为R的圆内接正n边形的边长为a，求证：同圆内接正2n边形的面积等于2nnRan，利用这个结果，求半径为R的圆内接正八边形的面积(用代数式表示).

提示：如图7-47，连结OA，OB，OA′AB，则OA′⊥AB，

∴四边形OAA′B的面积等于

121AB·OA′＝2Ran

1∴半径为R的圆内接正2n边形的面积等于21半径为R的正八边形的面积等于2

【命题趋势分析】

nRan

4Ra4＝22R2 正多边形的有关计算是正多边形和圆的一个重点命题内容，主要在各类考试中的填空和选择题中.

【典型热点考题】

例1.已知正六边形的半径为3cm，则这个正六边形的周长为

cm.(2000年江苏南通) 分析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用P6＝6an求出周长.

1例2.已知正多边形的边心距与边长的比为2，则此正多边形为( ). D.正十二边形

(2000年浙江台州)

A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 分析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选(B).

例3.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )

A.62

3 B.4

C. 63

4 D.3(2000年北京石景山) 分析：分别求出正三角形、正方形的边长，知应选(A).

【同步达纲练习】

一、填空题

1.正n边形的半径和边心距把正n边形分成

2.正三角形的半径为R，则边长为

个全等的直角三角形.

.

. .

，面积为

，边心距为

.若正三角形边长为a，则半径为

3.正n边形的一个外角为30°，则它的边数为

，它的内角和为

4.如果一正n边形的一个外角等于一个内角的三分之二，则这个正n边形的边数n＝ 5.正六边形的边长为1，则它的半径为

，面积为

. .

. . 6.同圆的内接正三边形、正四边形、正六边形的边长之比为

7.正三角形的高∶半径∶边心距为

8.边长为1的正六边形的内切圆的面积是 二、选择题

1.正方形的外接圆半径与内切圆的半径之比是( )

A.2∶1

B.2∶1

C.1∶2

D.1∶2

2.两圆半径之比为2∶3，小圆的外切正六边形与大圆的内接正六边形面积之比为( )

A.2∶3

B.4∶9

3.正三角形的外接圆半径是4cm，以正三角形的一边为边作正方形，则此正方形外接圆半径长为( )

A.8 C.16∶27 D.4∶33

6cm B.46cm C.26cm D. 6cm

三、计算题

1.已知一个正n边形的外接圆半径和内切圆半径分别为20cm，10

3cm，求：这个多边形的边长和面积. 2.已知⊙O的半径为R，求它的内接正三角形的内切圆的内接正方形的周长.

【素质优化训练】

1.如图7-48所示，已知三个等圆⊙A、⊙B、⊙C两两外切，E点为⊙A、⊙C的切点，ED⊥BC于D，圆的半径为1，求DE的长.

2.证明：如果延长正六边形的各边，使其两两相交，顺次连结各交点，则得一个新的正六边形，而它的面

积等于原正六边形面积的三倍.

【知识探究学习】

如图7-49，ABCD为正方形，E、F分别在BC、CD上，且ΔAEF为正三角形，四边形A′B′C′D′为ΔAEF的内接正方形，ΔA′E′F′为正方形A′B′C′D′的内接正三角形。

S正方形A'B'C'D'S(1)试猜想正方形ABCDSA'E'F'S与AEF的大小关系，并证明你的结论；

一、1.2n 2.3R S正方形A'B'C'D'

(2)求S正方形ABCD的值.

参考答案

【同步达纲练习】

1333332R;4R2 3a 3.12；1800° 4.n=5 5.1;237.3∶2∶1 8.4π

二、1.A 2.C 3.C

三、1.边长为20cm，面积为6003cm2

2.所求正方形的周长为22R

【素质优化训练】

3

1.△ABC为正三角形，DE＝22.(略) 3∶2∶1

6.