正多边形的有关计算课时教学实录

第二十六章 反比例函数

26.1 反比例函数

26.1.1 反比例函数

1．理解反比例函数的概念；(难点) 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；(重点) 3．能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型．(重点)

一、情境导入

1．京广高铁全程为2298km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间t(单位：h)有什么样的等量关系？

2．冷冻一个物体，使它的温度从20℃下降到零下100℃，每分钟平均变化的温度T(单位：℃)与冷冻时间t(单位：min)有什么样的等量关系？

问题：这些关系式有什么共同点？

二、合作探究

探究点一：反比例函数的定义

【类型一】

反比例函数的识别

下列函数中：①y＝1－23x；②3xy＝1；③y＝；④y＝.反比例函数有(

) 2xx2A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

解析：①y＝31是反比例函数，正确；②3xy＝1可化为y＝，是反比例函数，正确；2x3x1－2x③y＝是反比例函数，正确；④y＝是正比例函数，错误．故选C.

x2方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，首先要看两个变量是否具有反比例关系，k－然后根据反比例函数的定义去判断，其形式为y＝(k为常数，k≠0)，y＝kx1(k为常数，kx≠0)或xy＝k(k为常数，k≠0)．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

【类型二】

根据反比例函数的定义确定字母的值

已知函数y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数，求m的值．

解析：由反比例函数的定义可得

2m2＋3m－3＝－1，2m2＋m－1≠0，然后求解即可．

22m＋3m－3＝－1，22解：∵y＝(2m＋m－1)x2m＋3m－3是反比例函数，∴2解得m＝－2m＋m－1≠0，2. 方法总结：反比例函数也可以写成y＝kx1(k≠0)的形式，注意x的次数为－1，系数不等于0. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题

探究点二：用待定系数法确定反比例函数解析式

【类型一】

确定反比例函数解析式

已知变量y与x成反比例，且当x＝2时，y＝－6.求：

(1)y与x之间的函数解析式；

(2)当y＝2时，x的值．

解析：(1)由题意中变量y与x成反比例，设出函数的解析式，利用待定系数法进行求解．(2)代入求得的函数解析式，解得x的值即可．

－k解：(1)∵变量y与x成反比例，∴设y＝(k≠0)，∵当x＝2时，y＝－6，∴k＝2×(－x126)＝－12，∴y与x之间的函数解析式是y＝－；

x12(2)当y＝2时，y＝－＝2，解得x＝－6. x方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式时要注意：①设出含有待定系数的反比例k函数解析式，形如y＝(k为常数，k≠0)；②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析x式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数；④写出解析式．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

【类型二】

解决与正比例函数和反比例函数有关的问题

已知y＝y1＋y2，y1与(x－1)成正比例，y2与(x＋1)成反比例，当x＝0时，y＝－3；当x＝1时，y＝－1.求：

(1)y关于x的关系式；

1(2)当x＝－时，y的值．

2解析：根据正比例函数和反比例函数的定义得到y1，y2的关系式，进而得到y的关系式，把所给两组数据代入即可求出相应的比例系数，也就求得了所要求的关系式．

k2解：(1)∵y1与(x－1)成正比例，y2与(x＋1)成反比例，∴设y1＝k1(x－1)(k1≠0)，y2＝x＋1k2(k2≠0)，∵y＝y1＋y2，∴y＝k1(x－1)＋.当x＝0时，y＝－3；当x＝1时，y＝－1，∴x＋1－3＝－k1＋k2，2∴k1＝1，k2＝－2，∴y＝x－1－；

1x＋1－1＝2k2，111(2)把x＝－代入(1)中函数关系式得y＝－. 22方法总结：能根据题意设出y1，y2的函数关系式并用待定系数法求得等量关系是解答此题的关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题

探究点三：建立反比例函数模型及其相关问题

写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是否为反比例函数．

(1)底边为3cm的三角形的面积ycm2随底边上的高xcm的变化而变化；

(2)一艘轮船从相距skm的甲地驶往乙地，轮船的速度vkm/h与航行时间th的关系；

(3)在检修100m长的管道时，每天能完成10m，剩下的未检修的管道长ym随检修天数x的变化而变化．

解析：根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义判断其是否为反比例函数．

3解：(1)两个变量之间的函数表达式为：y＝x，不是反比例函数；

2s(2)两个变量之间的函数表达式为：v＝，是反比例函数；

t(3)两个变量之间的函数表达式为：y＝100－10x，不是反比例函数．

方法总结：解决本题的关键是根据实际问题中的等量关系，列出函数解析式，然后根据解析式的特点判断是什么函数．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题

三、板书设计

1．反比例函数的定义：

k形如y＝(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数．其中x是自变量，自变量x的取值x范围是不等于0的一切实数．

2．反比例函数的形式：

k(1)y＝(k为常数，k≠0)；

x(2)xy＝k(k为常数，k≠0)；

－(3)y＝kx1(k为常数，k≠0)．

3．确定反比例函数的解析式：待定系数法．

4．建立反比例函数模型．

让学生从生活实际中发现数学问题，从而引入学习内容，这不仅激发了学生学习数学的兴趣，还激起了学生自主参与的积极性和主动性，为自主探究新知创造了现实背景．因为反比例函数这一部分内容与正比例函数相似，在教学过程中，以学生学习的正比例函数为基础，在学生之间创设相互交流、相互合作、相互帮助的关系，让学生通过充分讨论交流后得出它们的相同点，在此基础上来揭示反比例函数的意义.