3.1.3 空间向量的数量积运算名师教学设计

空间向量的数量积运算教学设计

一、内容分析

《空间向量的数量积运算》是人教A版选修2—1，第三章第一节的知识内容。向量自从20世纪末进入高中教材，就以其数与形的双重属性，成为高中数学除函数之外的另一条学习主线。新教材将向量的内容分为必修和选修两部分，在必修中学生主要学***面向量的相关知识及其应用，选修中学生通过类比将向量知识由平面推广到空间，主要是为了改善立体几何的学习，实现几何问题代数化。

本节课是在学生掌握了平面向量及其运算，并已将平面向量加法、减法、数乘运算推广到空间的基础上，把平面向量数量积推广到空间，进一步让学生经历向量由平面向空间推广的过程，使学生体会类比与归纳的数学思想方法的应用。并让学生初步体会如何将立体几何问题转化为向量的计算问题，为利用向量法解立体几何做好铺垫。

因此，根据以上分析，结合《课程标准》的要求，制定了本节课的教学目标。

二、教学目标

知识与技能：

（1）掌握空间两个向量数量积的运算及应用，

（2）初步体会如何将立体几何问题转化为向量的计算问题

过程与方法：

（1）体会低维与高维相互转化的思维过程

（2）发展联想、类比、探究的能力、培养用联系的观点看问题，渗透数形结合的思想

情感与态度：（1）激发学生求知欲，提高学习兴趣，树立学好数学的信心

（2）认识数学的科学价值、应用价值，体会数学的理性精神

三、学情分析

学生已经掌握平面向量数量积的相关知识，并已有将平面向量线性运算推广到空间的经验，因此类比得到空间向量数量积运算并无困难，但结合学生观察及形象思维能力强，而空间想象能力及转化化归能力不足的特点，制定了本节课的教学重点和难点：

重点：空间两个向量数量积的计算方法及其应用。（类比思想方法的应用）

[来源:Z+xx+k.Com]难点：如何将立体几何问题转化为向量的计算问题。（数形结合及转化的思想方法的应用）

四、教学时间：1课时[来源:学科网ZXXK]

五、教学方法：启发、引导、讨论. 六、授课类型：新课

七、教学用具：白板。

八、教学过程

（一）导入新课：通过复习导入新课

1.复***面向量数量积定义：

2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积. （二）新知探究

探究一

空间向量数量积的运算

1.两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a与b，

在空间中任取一点O，作OAa，OBb，则AOB

叫做向量a与b的夹角，记作a,b．

说明：⑴规定：0a,b．

当a,b0时，

a与b同向；

当a,b时，a与b反向；[来源:学_科_网]

1

当a,b2时，称a与b垂直，记作：ab．

⑵

两个向量的夹角唯一确定且a,bb,a．[来源:Zxxk.Com]

⑶

注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．

2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a与b，abcosa,b叫做向量a与b的数量积，记作ab，

即：ababcosa,b

. 说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0a0；

⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. 几何意义：已知向量ABa和轴l,e是l上和l同方向的单位向量．作点A在l上的射影A，点B在l上的射影/B/，则A'B'叫做向量AB在轴l上或在e方向上的正射影，简称射影．可以证明：

A/B/ABcosa,eae．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是ae的几何意义．

3.空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：

⑴aeacosa,e；

⑵abab0

⑶当a与b同向时，abab；

当a与b反向时，abab.

特别地，aaa或aaaa2.

⑷cosa,b2ab;

⑸abab. ab4. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：

⑴(a)b(ab)a(b)

(数乘结合律)；

⑵

abba

(交换律)；

⑶a(bc)abac

(分配律) 2222说明：⑴(ab)ca(bc)；⑵有如下常用性质：aa;(ab)a2abb。

2在讨论中学生主要出现以下问题：

（1）以特殊位置代替一般情况

（2）无从下手，缺乏数形结合思想的应用意识

（3）知道数形结合，但空间想象能力不足，不会画图

（4）对向量相等及向量投影的理解不到位

学生通过小组合作探究，

互助交流，使问题得以解决。

（1）

懂得特殊化的思想虽然好，但证明一个命题是正确的要给出一般化的严格证明

（2）

加强了数形结合的思想方法的应用意识

（3）

增强了空间构图能力

（4）

加深对向量平移及向量投影的理解与应用意识

通过以上探究学生掌握了空间数量积的概念、计算方法和运算律。进而给出

探究二 应用空间向量数量积能解决立体几何中的哪些问题呢？[来源:学_科_网]

再次引导学生类比平面向量的应用

2

ab0ab(a0,b0) 证垂直

ab 求夹角[来源:学科网] cosa,b(a0,b0)ab

2aaaa 求长度

设计意图：引入空间向量主要是为了改善立体几何的学习。欧氏几何体系没有一个能让学生俯瞰全局的制高点，许多问题需要作辅助线，而向量法程序化强，便于操作。体会数学家吴文俊先生所说的：几何研究要“腾飞”必须采取“数量化”的方法，使学生明确知识的应用价值，也为用向量解决立体几何做好铺垫。

进一步引导学生，如果我们把平面看成二维空间，把普通的空间看成三维空间，我们能不能把向量推广到四维（例如由“长”、“宽”、“高”，“时间”等四个维度构成的空间）、五维……等“空间”中去呢？

指导学生阅读课本阅读材料

探究三

初步应用

体会方法

例1课本例2 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

例2课本例3 m,n是平面内的两条相交直线，如果lm,ln，求证：l。

教学中我按如下过程引导学生思考

（1）

如何把已知的几何条件转化为向量表示

（2）考虑未知向量能否用基向量或其他已知向量表示

（3）如何对已经表示出来的向量进行运算，获得需要的结论

设计意图：两个例题目的在于让学生体会用向量解决立体几何问题的思考方法，步步引导启发学生思路，形成好的分析方法，体会向量解决立体几何问题的思路，感受向量基底在向量运算中的作用，培养学生转化与化归的数学思想

（三）反馈练习

课本P92练习第1、2、3题

.

（四）课时小结

学生从以下两方面梳理本节课的收获：

（1）本节课学了哪些数学知识？

（2）体现了怎样的数学思想和数学方法？

设计意图：通过小结使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识，使学生完成知识建构。

（五）作业：

另发。

3

【板书设计】

§3.1.3空间向量的数量积运算

（一）、导入新课

（二）、新知探究

1空间向量数量积的运算

2空间向量数量积的性质

3空间向量数量积的运算律[来源:学科网]

（三）例题分析

教学反思：通过本节学习，使学生掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；掌握两个向量数量积的主要用途，空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，会用它解决立体几何中的一些简单问题。

（四）反馈练习

（五）课堂小结

（六）、课后作业

4