2.2.4 平面与平面平行的性质第二课时教案

2.24平面与平面平

（一）学习目标

1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述平面与平面平行的性质定理. 2.能应用平面与平面平行的性质定理解决一些简单的空间几何问题. （二）学习重点

1. 平面与平面平行的性质定理及其数学语言；

2. 平面与平面平行的性质定理的应用．

（三）学习难点

1.平面与平面平行的性质定理的抽象概括. 2.平面与平面平行的性质定理的应用．

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

（1）读一读：阅读教材第66页至第67页，填空：

平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 平面与平面平行的性质定理的应用：可以作为直线和直线平行的判定方法，也可以作为直线和平面平行的判定方法，还可用来作空间中的平行线. （2）写一写：平面与平面平行的性质定理的符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 2．预习自测

（1）已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a、b的位置关系是(

) A．平行

B．相交

C．异面

D．不确定

【答案】A （2）已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则a与β的位置关系为________. 【答案】a⊂β或a∥β

（3）已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中(

) A.不一定存在与a平行的直线

B.只有两条与a平行的直线

C.存在无数条与a平行的直线

D.存在唯一一条与a平行的直线

【答案】D

（二）课堂设计

1．知识回顾

（1）空间中平面与平面的位置关系有：

①相交；②平行. （2）平面与平面平行的判定定理：

①文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.此即平面与平面平行的判定定理. ②符号语言为：a，b，abP.

a，b③图形语言为：

【设计意图】复***面与平面的位置关系，为进一步探讨平面与平面平行的性质定理做铺垫.平面与平面平行的性质定理建立在平面与平面平行的前提下，所以学生应巩固和掌握平面与平面平行的判定定理. 2．问题探究

探究一

结合问题，概括出平面与平面平行的性质定理

活动①

归纳提炼定理

观察长方体ABCD-A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.

（1）平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？

答案：是的．

（2）若m⊂平面ABCD，n⊂平面A1B1C1D1，则m∥n吗？

答案：不一定，也可能异面．

（3）过BC的平面交面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？

答案：平行．

由此，我们可以概括出以下性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.此即平面与平面平行的性质定理. 另外，从平面与平面平行的定义，我们也可以得到：如果两个平面平行，则一个平面上的直线平行于另一个平面. 平面与平面平行的性质定理的符号语言为：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 平面与平面平行的性质定理的图形语言为：

【设计意图】以长方体作为实例，从具体问题到抽象的数学结论，让学生在经历直观感知、合情推理、探究说理的过程中建构新的知识，再通过类比、联想、应用使建构的知识得以完善. 活动②

辨析平面与平面平行的性质定理

（1）若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ.此说法正确吗？

答案：正确，因平面α与γ没有公共点．

（2）若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交．此说法正确吗？

答案：正确．若直线a与平面β平行或直线a⊂β，则由平面α∥平面β知a⊂α或a与α无公共点，这与直线a与α相交矛盾，所以a与β相交．

（3）若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α. 此说法正确吗？

答案：正确．如图，过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，由α∥β得a∥b. 因为PQ∥β，PQ⊂γ，所以PQ∥b.

因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重合．

因为a⊂α，所以PQ⊂α. （4）若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥b. 此说法正确吗？

答案：错误．若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a与b平行、相交和异面都有可能．

【设计意图】通过概念辨析，加深对平面与平面平行的性质定理中“交线与交线平行”等关键信息的理解，培养学生空间感觉与逻辑推理能力，突出重点．

探究二

平面与平面平行的性质定理的证明

活动①

证明平面与平面平行的性质定理

如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b. 求证a∥b.

证明

∵α∩γ＝a，β∩γ＝b，

∴a⊂α，b⊂β. 又∵α∥β，

∴a，b没有公共点，

又∵a，b同在平面γ内，∴

a∥b. 【设计意图】立足培养学生严谨、认真的学习态度.证明过程中通过“a、b同在平面γ内，a、b没有公共点”得到a∥b，体现了将空间问题转化成平面问题、将复杂问题转化成简单问题的策略，让学生体会化归转化思想在立体几何中的重要作用. 探究三

平面与平面平行的性质定理的应用

●活动①

牛刀小试，体会方法

例1 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.

【知识点】平面与平面平行的性质定理

【数学思想】化归转化

【解题过程】如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，

∵MP∥BB1，CMCP.

MB1PB

∵BD＝B1C，DN＝CM，

∴B1M＝BN，CPDN,

PBNBCMDN,

MB1NB∴NP∥CD∥AB. ∵NP平面AA1B1B，

AB⊂平面AA1B1B，

∴NP∥平面AA1B1B. ∵MP∥BB1，MP平面AA1B1B，

BB1⊂平面AA1B1B，

∴MP∥平面AA1B1B. 又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，

∴平面MNP∥平面AA1B1B. ∵MN⊂平面MNP，

∴MN∥平面AA1B1B. 【思路点拨】由平行线截比例线段定理得线线平行，进一步得面面平行，最终得线面平行. 【答案】见解题过程. 同类训练

如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E、E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.

【知识点】平面与平面平行的性质定理

【数学思想】化归转化

【解题过程】证明：因为F为AB的中点，

所以AB＝2AF，

又因为AB＝2CD，所以CD＝AF，

因为AB∥CD，所以CD∥AF，

所以四边形AFCD为平行四边形，

所以FC∥AD，又FC平面ADD1A1，

AD⊂平面ADD1A1，

所以FC∥平面ADD1A1，

因为CC1∥DD1，CC1平面ADD1A1，

DD1⊂平面ADD1A1，

所以CC1∥平面ADD1A1，

又FC∩CC1＝C，

所以平面ADD1A1∥平面FCC1. 又EE1⊂平面ADD1A1，

所以EE1∥平面FCC1. 【思路点拨】先证面面平行，由其性质可得线面平行. 【答案】见解题过程. 【设计意图】本设计中的例题，也可以构造平行四边形后利用直线与平面平行的判定定理进行证明.但本解答中利用面面平行的性质定理进行证明，更加简洁明了.面面平行的性质定理不仅可以帮助我们得到线线平行，还能得到线面平行，这可以让学生体会到立体几何中线线、线面、面面相互转化的灵活巧妙. 活动②

深入探究，总结结论

例2 如图，α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β. 求证AB＝CD.

【知识点】平面与平面平行的性质定理

【数学思想】化归转化

【解题过程】因为AB∥CD，所以过AB、CD可作平面γ，且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD.因为α∥β，所以BD∥AC.因此，四边形ABDC是平行四边形. 所以AB＝CD.

【思路点拨】由面面平行得线线平行，得四边形ABDC是平行四边形．

【答案】见解题过程.此结论为：夹在两个平行平面间的平行线段相等．

同类训练

如图，平面α∥平面β，平面l∩平面α＝A，求证l与β相交.

【知识点】平面与平面平行的性质定理

【数学思想】化归转化

【解题过程】在β上取一点B，过l和B作平面γ，由于γ与α有公共点A，γ与β有公共点B，所以γ与α，β都相交.设γ∩α＝a，γ∩β＝b，因为α∥β，所以a∥b.又因为l、a、b都在平面γ内，且l与a交于点A，所以l与b相交，所以l与β相交. 【思路点拨】由面面平行得线线平行，然后在同一个平面内讨论直线的关系，进而得到线与面的关系．

【答案】见解题过程.此结论为：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交．

【设计意图】证明抽象的结论是一个难点.解决问题的关键是要找到所证问题与知识定义、定理之间的联系.事实上，这也是解决所有数学问题的关键.本设计在应用平面与平面平行性质定理的基础上，训练学生寻找问题与知识之间的契合点，同时深刻体会化归转化思维的神奇魅力. 活动③

灵活应用，突破思维

例3 如图，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形A′B′C′D′所确定一个平面α外，且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行.

求证：四边形ABCD是平行四边形. 【知识点】平面与平面平行的性质定理

【数学思想】化归转化

【解题过程】证明：在□A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′.

∵A′B′平面C′D′DC，C′D′⊂平面C′D′DC，

∴A′B′∥平面C′D′DC. 同理A′A∥平面C′D′DC. 又A′A∩A′B′＝A′，∴平面A′B′BA∥平面C′D′DC. ∵平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，

平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，∴AB∥CD. 同理AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形. 【思路点拨】线线平行线面平行面面平行线线平行

【答案】见解题过程. 同类训练

矩形ABCD的四个顶点在平面内的射影分别为A′、B′、C′、D′，直线A′B′与C′D′不重合，求证：A′B′C′D′是平行四边形．

【知识点】平面与平面平行的性质定理

【数学思想】化归转化

【解题过程】∵A′、B′、C′、D′分别是A、B、C、D在平面内的射影．∴BB′⊥，CC′⊥，

∴BB′∥CC′．

∵CC′平面CC′D′D，BB′平面CC′D′D，∴BB′∥平面CC′D′D. 又∵ABCD是矩形，∴AB∥CD，CD平面CC′D′D，

∴AB∥平面CC′D′D ∵AB，BB′是平面ABB′A′ 内的两条相交直线，

∴平面ABB′A′∥平面CC′D′D．

又∩平面ABB′A′=A′B′，∩平面CC′D′D = C′D′，∴A′B′∥C′D′．

同理，B′C′∥A′D′，∴A′B′C′D′是平行四边形．

【思路点拨】线线平行线面平行面面平行线线平行

【答案】见解题过程. 【设计意图】通过相似的两个题目对学生进行训练，培养学生仔细观察、分析条件与结论之间的关系，联想所学的知识解决问题. 活动④

体验规律，整理方法

例4 如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E、F分别在线段AB、CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.求证：EF∥β，EF∥α.

【知识点】平面与平面平行的性质定理

【数学思想】分类讨论、化归转化

【解题过程】分两种情况：①当AB，CD在同一平面内时，由α∥β，α∩平面ABDC＝AC，β∩平面ABDC＝BD，

∴AC∥BD，∵AE∶EB＝CF∶FD，∴EF∥BD，∴EF∥AC，

又EFβ，BD⊂β，∴EF∥β. 同理可证，EF∥平面α.

②当AB与CD异面时，设平面ACD∩β＝l，在l上取一点H，使DH＝AC.

∵α∥β，α∩平面ACDH＝AC，

∴AC∥DH，

∴四边形ACDH是平行四边形. 在AH上取一点G，

使AG∶GH＝CF∶FD，

又∵AE∶EB＝CF∶FD，

∴GF∥HD，EG∥BH，

又EG∩GF＝G，BH∩HD＝H，

∴平面EFG∥平面β.

∵EF⊂平面EFG，∴EF∥β.

综上，EF∥β. ∵α∥β，EF∥β且EFα，∴EF∥α. 【思路点拨】当四个点在同一平面上时，易得结论；当四个点不在同一平面上时，则需将原问题向同一辅助平面转化. 【答案】见解题过程. 同类训练

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D、D1分别为AC，A1C1上的点. 若平面BC1D∥平面AB1D1，求AD的值. DC

【知识点】平面与平面平行的性质定理

【数学思想】化归转化

【解题过程】如图，连接A1B交AB1于点O，连接OD1. 由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，

所以点O为A1B的中点. 因为平面BC1D∥平面AB1D1，

且平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，

所以BC1∥D1O，

所以D1为线段A1C1的中点，

1所以D1C1＝A1C1. 2因为平面BC1D∥平面AB1D1，

且平面AA1C1C∩平面BDC1＝DC1，

平面AA1C1C∩平面AB1D1＝AD1，

所以AD1∥DC1.又因为AD∥D1C1，

所以四边形ADC1D1是平行四边形，

11AD1.. 所以AD＝C1D1＝A1C1＝AC，所以DC22【思路点拨】连接A1B交AB1于点O，连接OD1，由辅助平面A1BC1得BC1∥D1O，得D1为线段A1C1的中点，在平行四边形ADC1D1中可得答案. 【答案】1. 【设计意图】利用面面平行的性质定理得到线线平行，关键是要找到辅助平面，化面面平行问题为线线平行问题.本设计引领学生突破面面平行性质定理应用的关键步骤，借助化归转化思想，培养其化复杂问题为简单问题的问题解决能力. 3.课堂总结

知识梳理

（1）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. （2）常用的面面平行的其他几个性质：

①

两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. ②

夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. ③

经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. ④

两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. ⑤

如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. （3）要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化：

（三）课后作业

基础型

自主突破

1.平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，下面四种情形：①a∥b.②a⊥b.③a与b异面.④a与b相交.其中可能出现的情形有(

) A.1种

B.2种

C.3种

D.4种

【知识点】平面与平面平行的性质定理

【数学思想】考查定义

【解题过程】因为平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，

所以直线a与直线b无公共点. 当直线a与直线b共面时，a∥b；

当直线a与直线b异面时，

a与b所成的角大小可以是90°. 综上知，①②③都有可能出现，共有3种情形. 【思路点拨】根据面面平行的定义，两直线不可能相交. 【答案】C 2．已知a、b表示直线，α、β表示平面，下列推理正确的是(

) A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b

B．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥β

C．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β

D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

【知识点】平面与平面平行的性质定理

【数学思想】化归转化

【解题过程】A中α∩β＝a，b⊂α，a、b可能平行也可能相交；B中α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α，也可能b在平面α或β内；C中a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，根据面面平行的性质定理，若加上条件a∩b＝A，则α∥β.所以应选D. 【思路点拨】由面面平行性质定理可得. 【答案】D 3．已知平面α∥β∥γ，两条直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C与D、E、F.已知AB＝6，DE2,则AC＝______. DF5【知识点】平面与平面平行的性质定理

【数学思想】化归转化

【解题过程】由题可知DEABABDF5AC615.

DFACDE2【思路点拨】结合面面平行性质定理和平行线截比例线段定理可得. 【答案】15. 4. 已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB边AB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明