1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）课件配套优秀公开课教案设计

1.3.1 柱体、锥体、台体…

高中数学 1教学目标

(1)通过对柱、锥、台体的研究，了解柱、锥、台的表面积和体积的求法．

(2)能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积和体积，熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系．

(3)培养学生空间想象能力和思维能力．

(4)让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状．

(5)让学生通过对照比较，发现柱体、锥体、台体三者间体积的关系．

使学生通过表面积和体积公式的探究过程，体会数学的转化和类比的思想，从而增强学习的积极性．

2学情分析

学生基础能力较差。在立体感培养方面需要做长期准备。本节内容是高考重点考点。需注意以下两点

1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积与体积的求法。

2.会求组合体的表面积与体积．

3重点难点

重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算．

难点：台体的表面积和体积公式的推导．

重难点突破：先从学生熟悉的正方体和长方体的展开图为切入点，分析几何体的展开图与其表面积的关系，然后通过“探究”和“思考”引导学生归纳圆柱、圆锥和圆台的表面积公式；紧接着类比初中学过的正方体、长方体及圆柱的体积公式，得出一般柱体的体积公式；

对于三棱柱和三棱锥的关系，教师可展示一些由一个棱柱切开成3个棱锥的模具，让学生通过观察，感知柱、锥体间的关系，进而得到一般锥体的体积公式，难点得以化解；最后由台体的概念得出台体的体积公式，为更好的突出教学的重点，可通过典例训练提高学生的应用能力．

4教学过程

第一学时

教学活动

活动1【导入】1．正方体与长方体的展开图如下图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？

图片演示

活动2【导入】2．棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？

1．圆柱OO′及其侧面展开图如右，若r＝2，l＝3，则其一个底面积为多少？侧面积呢？表面积呢？

【提示】

S底＝πr2＝4π，

S侧＝2πrl＝12π，S表＝20π. 2．圆锥SO及其侧面展开图如右，若r＝2，l＝5，则其底面积为多少？侧面积与表面积呢？

【提示】

S底＝πr2＝4π，S侧＝πrl＝10π，S表＝14π. 3．圆台OO′及其侧面展开图如右，若r＝2，r′＝1，l＝3，则其上、下底面积分别为多少？侧面积与表面积呢？

【提示】

S上底＝πr′2＝π，S下底＝πr2＝4π，

S侧＝π(r′＋r)l＝9π，

S表＝14π.

活动3【讲授】圆柱、圆锥、圆台的表面积

列表

活动4【讲授】柱体、锥体与台体的体积

1．正方体、长方体、圆柱的体积公式如何表示？

【提示】

V＝Sh，其中S为底面面积，h为高．

2．上述体积公式对所有柱体都适用吗？

【提示】

都适用．

3．如图，某几何体下部为正方体ABCD－A′B′C′D′，上部为正四棱锥S－ABCD，若几何体高为5，棱AB＝2，则正方体与四棱锥体积分别为多少？整个几何体的体积呢？

【提示】

V正方体＝23＝8，VS－ABCD＝×22×(5－2)＝4. V＝V正方体＋VS－ABCD＝12. 1．柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh. 2．锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh. 3．台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝(S′＋＋S)h. 活动5【活动】课堂互动探究

如图1－3－1所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，

BC＝16 cm，AD＝4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．

图1－3－1 【思路探究】

【自主解答】

以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm，下底半径是16 cm，母线DC＝＝13 (cm)．

∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm2)．

活动6【活动】总结规律

1．圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤

解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：

(1)得到空间几何体的平面展开图．

(2)依次求出各个平面图形的面积．

(3)将各平面图形的面积相加．

2．棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．

活动7【练习】例题展示书写

在题设条件不变的情况下，求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．

【解】

以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示：

其中圆锥的高为16－4＝12(cm)，圆柱的母线长为AD＝4 cm，

故该几何体的表面积为：2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π(cm2)．

空间几何体的体积

三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比．

图1－3－2 【思路探究】

―→―→―→―→

【自主解答】

设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.

∴VA1－ABC＝S△ABC·h＝Sh，VC－A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh. 又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，

∴VB－A1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1＝Sh－－＝Sh，

∴体积比为1∶2∶4. 活动8【活动】总结规律

求几何体体积的常用方法

活动9【活动】例题讲解

例1、已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC，求它的表面积。

分析：边长为a的正三角形的面积

，

所给几何体为正四面体，其四个面为全等的等边三角形，故其表面积为

。

例2、如图，一个圆台形花盆盆口直径为20，盆底直径为15，底部渗水圆孔直径为15，盆壁长15。为了美化花盆的外观，需要涂油漆。已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆？

分析：只需求出每一个花盆外壁的表面积，就可求出油漆的用量，而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面面积加上底面面积，再减去底面圆孔的面积。

活动10【活动】总结例题规律

质疑答辩、排难解惑、发展思维

组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。

活动11【练习】巩固练习

补充练习：1、已知圆锥的表面积为a m2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为

。

2、若长方体的三条棱长的比是1 : 2 : 3，全面积为88，则这三条棱的长分别是

，对角线的长为

。

3、等边圆柱的轴截面面积是S，则它的侧面积是

。

4、圆锥轴截面的顶角为120°，过顶点的截面三角形中，面积的最大值为2，则此圆锥的侧面积是

。

5、圆锥母线长为4，过顶点的截面三角形面积最大值为

，则截面三角形顶角最大为

。

6、把一个半圆卷成圆锥的侧面，则圆锥母线间的最大夹角是

。

7、将半径为72的扇形OAB剪去小扇形OCD，余下的扇环面积为648π，将扇环围成一圆台，两底面半径之差为6，则圆台的上、下底面半径分别为

。

8、长方体AC1，若在A点有一只蜘蛛，C1处有一只苍蝇，蜘蛛要尽快地到达C1捕获苍蝇，问蜘蛛的最短路程是多少？

9、圆锥PO的底面半径是1，母线长为3，M是底面圆周上任一点，从点M拉紧一条绳子，环绕圆锥侧面一周再回到M处，若使绳子最短，则它的长度应该是多少？

活动12【活动】师生总结

本节课学习了柱体、锥体与台体的表面积的结构和求解方法及公式。用联系的关点看待三者之间的关系，更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握。

活动13【作业】课后作业

课后作业：P28，习题1.3，A组1、2。（以上补充练习）

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

课时设计

课堂实录

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

1第一学时

教学活动

活动1【导入】1．正方体与长方体的展开图如下图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？

图片演示

活动2【导入】2．棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？

1．圆柱OO′及其侧面展开图如右，若r＝2，l＝3，则其一个底面积为多少？侧面积呢？表面积呢？

【提示】

S底＝πr2＝4π，

S侧＝2πrl＝12π，S表＝20π. 2．圆锥SO及其侧面展开图如右，若r＝2，l＝5，则其底面积为多少？侧面积与表面积呢？

【提示】

S底＝πr2＝4π，S侧＝πrl＝10π，S表＝14π.