3.1.1 空间向量及其加减运算教学设计(第一课时)

3.1.1

空间向量及其加减运算

学习目标

1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差.3.了解向量加法的交换律和结合律．

知识点一

空间向量的概念

(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．

空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，→→则向量a也可记作AB，其模记为|a|或|AB|. (2)几类特殊的空间向量

名称

零向量

单位向量

相反向量

相等向量

知识点二

空间向量的加减运算及运算律

思考

下面给出了两个空间向量a，b，作出b＋a，b－a. 定义及表示

规定长度为0的向量叫做零向量，记为0

模为1的向量称为单位向量

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a

方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量

答案

如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α→→→→→→→→内，以任意点O为起点作OA＝a，OB＝b，则OC＝OA＋OB＝a＋b，AB＝OB－OA＝b－a.

梳理

(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．

→→→OB＝OA＋AB＝a＋b，

→→→CA＝OA－OC＝a－b. (2)空间向量加法交换律

a＋b＝b＋a，

空间向量加法结合律

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

(1)零向量没有方向．(×) (2)有向线段都可以表示向量，向量都可以用有向线段表示．(×) (3)平面内所有的单位向量是相等的．(×) (4)空间中，将单位向量起点放在一起，其终点组成的图形是球．(×) (5)任何两个向量均不可以比较大小(√)

类型一

向量概念的应用

例1

(1)下列关于空间向量的说法中正确的是(

) A．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行

B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反

→→→→→→C．若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，则AB＞CD

D．相等向量其方向必相同

考点

空间向量的相关概念及其表示方法

题点

空间向量的定义与模

答案

D 解析

A中，向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合；B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；C中，向量作为矢量不能比较大小，故选D.

(2)给出下列命题：

①若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；

→-→②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC＝A1C1；

③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；

④空间中任意两个单位向量必相等．

其中假命题的个数是(

) A．1B．2C．3D．4 考点

空间向量的相关概念及其表示方法

题点

相等、相反向量

答案

B 解析

①为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相→-→同，而①中向量a与b的方向不一定相同；②为真命题，AC与A1C1的方向相同，模也相等，-→-→故AC＝A1C1；③为真命题，向量相等满足传递性；④为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故选B. 反思与感悟

在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．

→跟踪训练1

(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，下列四对向量：①AB与-→-→-→-→-→-→-→C1D1；②AC1与BD1；③AD1与C1B；④A1D与B1C.其中互为相反向量的有n对，则n等于(

) A．1 C．3 B．2 D．4 考点

空间向量的相关概念及其表示方法

题点

相等、相反向量

答案

B →-→-→-→-→解析

对于①AB与C1D1，③AD1与C1B，长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②AC1与-→-→-→BD1，长度相等，方向不相反；对于④A1D与B1C，长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．

(2)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：

①单位向量共有多少个？

②试写出模为5的所有向量．

→③试写出与向量AB相等的所有向量．

--→④试写出向量AA′的所有相反向量．

考点

空间向量的相关概念及其表示方法

题点

空间向量的定义与模

--→--→--→---→解

①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA′，A′A，BB′，B′B，---→---→---→---→CC′，C′C，DD′，D′D，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．

---→----→---→②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为5，故模为5的向量有AD′，D′A，A′D，---→----→----→----→---→DA′，BC′，C′B，B′C，CB′. →----→→----→③与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)有A′B′，DC及D′C′. ---→---→---→---→---→④向量AA′的相反向量有A′A，B′B，C′C，D′D. 类型二

空间向量的加减运算

例2

如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．

-→→(1)AA′－CB；

-→→---→(2)AA′＋AB＋B′C′. 考点

空间向量的加减运算

题点

空间向量的加减运算

-→→-→→-→→-→---→-→解

(1)AA′－CB＝AA′－DA＝AA′＋AD＝AA′＋A′D′＝AD′. -→→---→-→→----→-→----→----→-→----→(2)AA′＋AB＋B′C′＝(AA′＋AB)＋B′C′＝AA′＋A′B′＋B′C′＝AB′＋B′C′-→＝AC′. -→-→向量AD′，AC′如图所示．

引申探究

-→----→----→--→利用本例题图，化简AA′＋A′B′＋B′C′＋C′A. 解

结合加法运算

-→----→-→-→----→-→-→---→AA′＋A′B′＝AB′，AB′＋B′C′＝AC′，AC′＋C′A＝0. -→----→----→----→故AA′＋A′B′＋B′C′＋C′A＝0. 反思与感悟

(1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终-→-→-→--→-→点的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An—1An＝A1An. (2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，

→→→→→→→→OB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FG＋GH＋HO＝0. →-→-→-→跟踪训练2

在如图所示的平行六面体中，求证：AC＋AB′＋AD′＝2AC′. 考点

空间向量的加减运算

题点

空间向量的加减运算的应用

证明

∵平行六面体的六个面均为平行四边形，

→→→-→→-→-→→-→∴AC＝AB＋AD，AB′＝AB＋AA′，AD′＝AD＋AA′，

→-→-→∴AC＋AB′＋AD′

→→→-→→-→＝(AB＋AD)＋(AB＋AA′)＋(AD＋AA′) →→-→＝2(AB＋AD＋AA′)．

-→-→→→又∵AA′＝CC′，AD＝BC，

→→-→→→-→→-→-→∴AB＋AD＋AA′＝AB＋BC＋CC′＝AC＋CC′＝AC′. →-→-→-→∴AC＋AB′＋AD′＝2AC′.

1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为-→AC1的共有(

) →→-→①(AB＋BC)＋CC1；

-→--→--→②(AA1＋A1D1)＋D1C1；

→-→--→③(AB＋BB1)＋B1C1；

-→--→--→④(AA1＋A1B1)＋B1C1. A．1个B．2个C．3个D．4个

考点

空间向量的加减运算

题点

空间向量的加减运算

答案

D →→-→→-→-→解析

①(AB＋BC)＋CC1＝AC＋CC1＝AC1；

→--→--→-→--→-→②(AA1＋A1D1)＋D1C1＝AD1＋D1C1＝AC1；

→-→--→-→--→-→③(AB＋BB1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1；

-→--→--→-→--→-→④(AA1＋A1B1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1，故选D. 2．下列命题中，假命题是(

) A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

C．只有零向量的模等于0 D．空间向量不满足加法结合律

考点

空间向量的相关概念及其表示方法

题点

空间向量的定义与模

答案

D →3．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，与向量AD相等的向量共有(

) A．1个B．2个C．3个D．4个

考点

空间向量的相关概念及其表示方法

题点

相等、相反向量

答案

C →--→→--→解析

与AD相等的向量有A1D1，BC，B1C1，共3个．

4．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(

) A．a＝b

C．a与b方向相同

B．a＋b为实数0 D．|a|＝3 考点

空间向量的相关概念及其表示方法

题点

相等、相反向量

答案

D 解析

向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反，故选D. 5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知下列各式：

→→-→-→--→--→→-→--→-→--→--→①(AB＋BC)＋CC1；②(AA1＋A1D1)＋D1C1；③(AB＋BB1)＋B1C1；④(AA1＋A1B1)＋B1C1.其中

-→运算的结果为AC1的有________个．

考点

题点

答案

4 解析

根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：

→→-→→-→-→①(AB＋BC)＋CC1＝AC＋CC1＝AC1；

-→--→--→-→--→-→②(AA1＋A1D1)＋D1C1＝AD1＋D1C1＝AC1；

→-→--→-→--→-→③(AB＋BB1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1；

-→--→--→-→--→-→④(AA1＋A1B1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1. -→所以4个式子的运算结果都是AC1.

1．一些特殊向量的特性

(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的．

(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1. (3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．

2．空间向量加法、减法运算的两个技巧

(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．

(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．

一、选择题

-→-→-→1．化简PM－PN＋MN所得的结果是(

) -→A.PM

C.0

考点

空间向量的加减运算

题点

空间向量的加减运算

答案

C -→-→-→-→-→-→-→解析

PM－PN＋MN＝NM＋MN＝NM－NM＝0，故选C. 2．下列命题中为真命题的是(

) -→B.NP

-→D.MN

→→A．向量AB与BA的长度相等

B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆

C．空间向量就是空间中的一条有向线段

D．不相等的两个空间向量的模必不相等

考点

空间向量的相关概念及其表示方法

题点

相等、相反向量

答案

A 解析

对于选项B，其终点构成一个球面；对于选项C，零向量不能用有向线段表示；对于选项D，向量a与向量b不相等，未必它们的模不相等，故选A. →→→3．空间任意四个点A，B，C，D，则DA＋CD－CB等于(

) →A.DB

→C.AB

考点

空间向量的加减运算

题点

空间向量的加减运算

答案

D →→4．(2017·嘉兴一中期末)如图，在三棱锥O－ABC中，点D是棱AC的中点，若OA＝a，OB→→＝b，OC＝c，则BD等于(

) →B.AC

→D.BA

A．a＋b－c

C．a－b＋c

答案

B →→→→5．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO＋OB＝DO＋OC，则四边形ABCD是(

) A．平行四边形

C．等腰梯形

考点

空间向量的加减运算

题点

空间向量的加减运算的应用

答案

A B．空间四边形

D．矩形

11B.a－b＋c

2211D．－a＋b－c

22

→→→→→→→→解析

由AO＋OB＝AB＝DO＋OC＝DC，得AB＝DC，故四边形ABCD为平行四边形，故选A. →→→→→→6．如果向量AB，AC，BC满足|AB|＝|AC|＋|BC|，则(

) →→→A.AB＝AC＋BC

→→C.AC与BC同向

→→→B.AB＝－AC－BC

→→D.AC与CB同向

考点

空间向量的相关概念及其表示方法

题点

相等、相反向量

答案

D 7．判断下列各命题的真假：

①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为(

) A．2B．3C．4D．5 考点

题点

答案

B 解析

①假命题，当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②真命题；③假命题，零向量也是向量，故也有方向，只是方向不确定；④假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．

二、填空题

→→→→8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，化简AB－CD＋BC－DA的结果是________．

考点

空间向量的加减运算

题点

空间向量的加减运算

→答案

2AC

→→→→→→→→→→→解析

AB－CD＋BC－DA＝AB＋BC＋DC－DA＝AC＋AC＝2AC. 9．已知向量a，b，c互相平行，其中a，c同向，a，b反向，|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，则|a＋b＋c|＝________. 考点

空间向量的相关概念及其表示方法

题点

空间向量的定义与模

答案

2 →→→10．若G为△ABC内一点，且满足AG＋BG＋CG＝0，则G为△ABC的________．(选填“外心”“内心”“垂心”或“重心”)

考点

空间向量的加减运算

题点

空间向量的加减运算的应用

答案

重心

→→→→解析

因为AG＋BG＝－CG＝GC，

所以AG所在直线的延长线为边BC上的中线，同理，得BG所在直线的延长线为AC边上的中线，故G为其重心．

11．给出下列命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若a＝0，则|a|＝0；③|a|＝|－a|；④若a＝0，则－a＝0.其中正确命题的序号为________．

考点

空间向量的相关概念及及其表示方法

题点

空间向量的定义与模

答案

②③④

三、解答题

12．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的→→→→→→中点，请化简：AB＋BC＋CD，AB＋GD＋EC，并标出化简结果的向量．

考点

空间向量的加减运算

题点

空间向量的加减运算的应用

→→→→→→解

AB＋BC＋CD＝AC＋CD＝AD. 因为E，F，G分别为BC，CD，DB的中点，

→→→→所以BE＝EC，EF＝GD. →→→所以AB＋GD＋EC

→→→→＝AB＋EF＋BE＝AF. →→故所求向量为AD，AF，如图所示．

13．如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，化简下列表达式．

(1)AB→＋BC→；

(2)AB→＋AD→＋AA-→′；

(3)AB→＋CB→＋AA-→′；

(4)AC-→′＋D--′→B－DC→. 考点

题点

解

(1)AB→＋BC→＝AC→. (2)AB→＋AD→＋AA-→′＝AC→＋AA-→′＝AC-→′. (3)AB→＋CB→＋AA-→′＝AB→＋DA→＋BB-→′＝DB-→′. (4)AC-→′＋D--′→B－DC→＝(AB→＋BC→＋CC-→′)＋(DA→＋DC→＋C--′→C)－DC→＝DC→. 四、探究与拓展

14．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为点O，则在下列结论中正确的结论共有(

①OA→＋OD→与OB→-→1＋OC1是一对相反向量；

②OB→－OC→与OA-→-→1－OD1是一对相反向量；

③OA→＋OB→＋OC→＋OD→与OA-→-→-→-→1＋OB1＋OC1＋OD1是一对相反向量；

④OA-→→→-→1－OA与OC－OC1是一对相反向量．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

考点

空间向量的相关概念及其表示方法

题点

相等、相反向量

答案

C 15．在长方体ABCD-A→→＋B-→-→--→-→1B1C1D1中，化简DA－DB1C－B1B＋A1B1－A1B. 解

如图．

)

→→-→-→--→-→DA－DB＋B1C－B1B＋A1B1－A1B

→→-→-→--→-→＝(DA－DB)＋(B1C－B1B)＋(A1B1－A1B) →→-→→-→-→＝BA＋BC＋BB1＝BD＋BB1＝BD1.